Question

【題目】如圖，已知點D在反比例函數(shù)的圖象上，過點D作x軸的平行線交y軸于點B（0，2），過點A(,0)的直線y＝kx+b與y軸于點C，且BD＝2OC，tan∠OAC＝．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）連接CD，試判斷線段AC與線段CD的關(guān)系，并說明理由；

（3）點E為x軸上點A左側(cè)的一點，且AE＝BD，連接BE交直線CA于點M，求tan∠BMC的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）AC⊥CD．理由見解析；（3）tan∠BMC＝2．

【解析】

(1)由A點坐標可求得OA的長，再利用三角函數(shù)的定義可求得0C的長，可求得C、D點坐標，再利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；

(2)由條件可證明△AOC∽△COK，再由角的和差可求得∠OCA+∠OCK＝90°，可證得AC⊥CD；

(3) 作BH⊥CM于H．把A點,E點代入解析式可得M（﹣），求出CM＝ ，BM＝再利用S△BCM 求出BH即可解答

（1）∵A（﹣ ，0），B（0，2），

∴OA＝，OB＝2，

∵tan∠OAC＝，

∴OC＝1，BC＝3，

∵BD＝2OC，

∴BD＝2，

∵BD⊥BC，

∴B（2，2），

把B（2，2）代入y＝ 中，得到m＝4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝ ．

（2）如圖，設(shè)CD交x軸于K．

∵OK∥BD，

∴，

∴ ，

∴OK＝ ，

∵OC＝1，OA＝ ，

∴OC2＝OAOK，

∴ ，

∵∠AOC＝∠COK，

∴△AOC∽△COK，

∴∠OAC＝∠OCK，

∵∠OAC+∠OCA＝90°，

∴∠OCA+∠OCK＝90°，

∴∠ACK＝90°，

∴AC⊥CD．

（3）如圖，作BH⊥CM于H．

∵A（﹣ ，0），C（0，﹣1），

∴直線AC的解析式為y＝﹣ x﹣1，

∵AE＝BD＝2，

∴OA＝2+＝ ，

∴E（﹣，0），∵B（0，2），

∴直線BE的解析式為y＝x+2，

由，

∴M（﹣），

∴CM＝ ，BM＝ ，

∵S△BCM＝ ×3× ＝××BH，

∴BH＝ ，

∴MH＝，

∴tan∠BMC＝＝2．