Question

如圖，已知點A（-4，4），點B為x軸的負(fù)半軸上的點，C為函數(shù)y=

4

x

的圖象上的點，并且B在C的左邊，連接AB，BC，AC是否存在這樣的點B和點C，使得△ABC為等腰直角三角形，且∠ABC=90°？若存在，請求出點B和點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，先證得△ADB≌△BEC，從而求得AD=BE，DB=CE，設(shè)B（m，0），根據(jù)A的坐標(biāo)即可得出C（4+m，4+m），代入函數(shù)的解析式即可求得點B和點C的坐標(biāo)．

解答：解：存在；
理由：如圖，作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，
∵△ABC為等腰直角三角形，且∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∵∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
在△ADB和△BEC中，

∠DAB=∠CBE ∠ADB=∠BEC=90° AB=BC

，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD=BE，DB=CE，
設(shè)B（m，0），
∵點A（-4，4），
∴DB=4+m，-m+OE=4，
∴CE=4+m，OE=4+m，
∴C（4+m，4+m），
∵C為函數(shù)y=

4

x

的圖象上的點，
∴4+m=

4

4+m

，
解得m=-2或m=-6，
∴B的坐標(biāo)為（-2，0）或（-6，0），C的坐標(biāo)為（2，2）或（-2，-2）．

點評：本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵．