Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，延長AI交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD．
（1）線段BD與ID相等嗎？證明你的結(jié)論．
（2）證明：ID²=DE•AD．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BI，證∠BIED∠IBD即可；∠IBD=∠4+∠5，∠BID=∠2+∠3；觀察上述兩個(gè)式子：I是△ABC的內(nèi)心，則∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BID=∠IBD，由此得證；
（2）由（1）知：ID=BD，即證BE是哪兩條線段的比例中項(xiàng)，可通過找以BD為公共邊的相似三角形；由（1）證得∠5=∠2，易證得△BED∽△ABD，由此可得出所求的結(jié)論．

解答：解：（1）ID=BD，
理由：∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4；
∵∠BID=∠3+∠2，∠DBI=∠4+∠5，且∠5=∠1，
∴∠BID=∠DBI；
∴ID=BD；

（2）證明：如圖所示：
∵∠5=∠1，∠1=∠2；
∴∠5=∠2；
又∵∠D=∠D，
∴△BDE∽△ADB；
∴BD：DE=AD：BD；
∴BD²=AD•DE；
又∵ID=BD，
∴ID²=AD•DE．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，得出△BDE∽△ADB是解題關(guān)鍵．