先因式分解(1),(2),(3),再解答后面的問題.

(1)1+a+a(1+a).

(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2.

(3)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3.

問題:

①先探索上述因式分解的規(guī)律,然后寫出1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2014因式分解的結(jié)果.

②請(qǐng)按上述方法因式分解:1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)n(n為正整數(shù)).


【解析】(1)原式=(1+a)(1+a)=(1+a)2.

(2)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)(1+a)(1+a)=(1+a)3.

(3)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2]

=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)]

=(1+a)2(1+a)(1+a)

=(1+a)4.

①由(1),(2),(3)的規(guī)律可知,1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2014=(1+a)2015.

②原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-1]

=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-2]

=(1+a)2(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-3]

…

=(1+a)n-1(1+a)(1+a)=(1+a)n+1.

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