Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．

①當(dāng)t=時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說(shuō)明理由；

②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問(wèn)S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+4x;(2) ①點(diǎn)P不在直線ME上,理由見(jiàn)解析；②S存在最大值,理由見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式y=a（x-2）2+4，將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式．

（2）①由（1）中拋物線的解析式可以求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求出ME的解析式，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式就可以判斷P點(diǎn)是否在直線ME上．

②設(shè)出點(diǎn)N（t，-（t-2）2+4），可以表示出PN的值，根據(jù)梯形的面積公式可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而可以求出結(jié)論．

詳解：（1）因所求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），

故可設(shè)其關(guān)系式為y=a（x﹣2）2+4

又∵拋物線經(jīng)過(guò)O（0，0），

∴得a（0﹣2）2+4=0，

解得a=﹣1

∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=﹣（x﹣2）2+4，

即y=﹣x2+4x．

（2）①點(diǎn)P不在直線ME上．

根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），

又M的坐標(biāo)為（2，4），

設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b．

于是得，

解得

所以直線ME的關(guān)系式為y=﹣2x+8．

由已知條件易得，當(dāng)t=時(shí)，OA=AP=，

∴P（，）

∵P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=﹣2x+8．

∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上．

②S存在最大值．理由如下：

∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，

∴OA=AP=t．

∴點(diǎn)P，N的坐標(biāo)分別為（t，t）、（t，﹣t2+4t）

∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），

∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，

∴PN=﹣t2+3t

（�。┊�(dāng)PN=0，即t=0或t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，

∴S=DCAD=×3×2=3．

（ⅱ）當(dāng)PN≠0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形

∵PN∥CD，AD⊥CD，

∴S=（CD+PN）AD= [3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3=﹣（t﹣）2+

其中（0＜t＜3），由a=﹣1，0＜＜3，此時(shí)S最大=．

綜上所述，當(dāng)t=時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值，這個(gè)最大值為．

說(shuō)明：（ⅱ）中的關(guān)系式，當(dāng)t=0和t=3時(shí)也適合．