Question

【題目】如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED=∠C．

（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）求證：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，連接OE．

∵CD是圓O的直徑，

∴∠CED=90°．

∵OC=OE，

∴∠1=∠2．

又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，

∴∠PED=∠2，

∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，

∴OE⊥EP，

又∵點E在圓上，

∴PE是⊙O的切線；

（2）

證明：∵AB、CD為⊙O的直徑，

∴∠AEB=∠CED=90°，

∴∠3=∠4（同角的余角相等）．

又∵∠PED=∠1，

∴∠PED=∠4，

即ED平分∠BEP；

（3）

解：設EF=x，則CF=2x，

∵⊙O的半徑為5，

∴OF=2x﹣5，

在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，

解得x=4，

∴EF=4，

∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，

∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AB=10，BE=8，

∴AE=6，

∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，

∴△AEB∽△EFP，

∴，即，

∴PF=，

∴PD=PF﹣DF=﹣2=．

【解析】（1）如圖，連接OE．欲證明PE是⊙O的切線，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圓周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根據(jù)“同角的余角相等”推知∠3=∠4，結合已知條件證得結論；
（3）設EF=x，則CF=2x，在RT△OEF中，根據(jù)勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2 ， 求得EF=4，進而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根據(jù)勾股定理求得AE=6，然后根據(jù)△AEB∽△EFP，得出，求得PF=，即可求得PD的長．
此題考查了圓的綜合應用，涉及知識點有切線的判定，圓周角定理，勾股定理和相似三角形的性質等.