Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝，AD＝2．點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)△CDF是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】1、、2﹣

【解析】

過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類討論，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

①CF＝CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，

則CM∥AE，DM＝MF，

延長(zhǎng)CM交AD于點(diǎn)G，

∴AG＝GD＝1，

∴CE＝1，

∵CG∥AE，AD∥BC，

∴四邊形AGCE是平行四邊形，

∴CE＝AG＝1，

∴BE＝1

∴當(dāng)BE＝1時(shí)，△CDF是等腰三角形；

②DF＝DC時(shí)，則DC＝DF＝，

∵DF⊥AE，AD＝2，

∴∠DAE＝45°，

則BE＝，

∴當(dāng)BE＝時(shí)，△CDF是等腰三角形；

③FD＝FC時(shí)，則點(diǎn)F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點(diǎn)．

∵AB＝，BE＝x，

∴AE＝，

AF＝，

∵△ADF∽△EAB，

∴，

，

x2﹣4x+2＝0，

解得：x＝2±，

∴當(dāng)BE＝2﹣時(shí)，△CDF是等腰三角形．

綜上，當(dāng)BE＝1、、2﹣時(shí)，△CDF是等腰三角形．

故答案為：1、、2﹣．