Question

【題目】如圖，某校園內(nèi)有一塊菱形的空地ABCD，為了美化環(huán)境，現(xiàn)要進(jìn)行綠化，計(jì)劃在中間建設(shè)一個(gè)面積為S的矩形綠地EFGH，其中，點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形的四條邊上，AB=a米，BE=BF=DG=DH=x米，∠A=60°
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）若a=100，求S的最大值，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=a米，

∵BE=BF=DH=DG=x米，∠A=60°，

∴AE=AH=（a﹣x）米，∠ADC=120°，

∴△AHE是等邊三角形，即HE=（a﹣x）米，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥HG于點(diǎn)P，

∴HG=2HP，∠HDP= ∠ADC=60°，

則HG=2HP=2DHsin∠HDP=2x× = x（米），

∴S= x（a﹣x）=﹣ x2+ ax （0＜x＜a）

（2）解：當(dāng)a=100時(shí)，S=﹣ x2+100 x=﹣ （x﹣50）2+2500 ，

∴當(dāng)x=50時(shí)，S取得最大值，最大值為2500 m2

【解析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得△AHE是等邊三角形，即HE=（a﹣x）米，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥HG于點(diǎn)P，則HG=2HP=2DHsin∠HDP= x米，由矩形面積公式可得；（2）將a=100代入上式，配方成頂點(diǎn)式可得其最值情況．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的積的一半才能正確解答此題．