Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象交y軸于（0，-15），且過(guò)點(diǎn)（3，0）和（4，2

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）；
（1）求拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，以AB為直徑作圓M，過(guò)P作⊙M的切線，求所作切線的解析式．

Answer 1

分析：（1）把（0，-15），（3，0）和（4，2

7

9

）代入拋物線y=ax²+bx+c就可以得到關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值．求出函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式就可以求出A，B，P，M的坐標(biāo)，過(guò)P作⊙M的切線一定垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，半徑MP的函數(shù)解析式可以利用待定系數(shù)法求出，切線的解析式中一次項(xiàng)系數(shù)，與MP的解析式中一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，因而利用待定系數(shù)法，把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入就可以得到函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)題意得到：

9a+3b+c=0 16a+4b+c=2 7 9 c=-15

，
解得

a=- 5 9 b= 20 3 c=-15

，
因而函數(shù)的解析式就是y=-

5

9

x²+

20

3

x-15．
（2）即：y=-

5

9

（x-6）²+5，
∴頂點(diǎn)為P（6，5）；可得A（3，0），B（9，0），M（6，0）
設(shè)直線PD為：y=kx+b（k≠0），則k=±tan∠CDM=±

4

3

，
∴y=±

4

3

x+b（k≠0），
又∵PD過(guò)點(diǎn)P（6，5），
∴5=±

4

3

×6+b，
解得：

k= 4 3 b=-3

或

k=- 4 3 b=13

，
故：所求切線解析式為：y=

4

3

x-3或y=-

4

3

x+13．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及互相垂直的兩條直線的解析式的關(guān)系．