【題目】如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過、兩點,與軸的另一個交點為,點在軸上,且.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)設(shè)該拋物線上的一個動點的橫坐標為.
①當(dāng)時,求四邊形的面積與的函數(shù)關(guān)系式,并求出的最大值;
②點在直線上,若以為邊,點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點的坐標.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)①S=,S的最大值為;②點P的坐標分別為:P1(1,4),P2(2,3),P3(,),P4(,).
【解析】
(1)由對稱軸和A點坐標可求出B點坐標,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),把C(0,3)代入,可求出a值,即可得答案;
(2)①如圖,連結(jié)BC,過點P作PE∥y軸,交BC于點E,根據(jù)B、C兩點坐標可得直線BC的解析式,根據(jù)可求出OD、CD的長,設(shè)P(t,-t2+2t+3),則E(t,-t+3),可用含t的代數(shù)式表示出PE的長,根據(jù)S四邊形CDBP=S△BCD+S△BPC可得S的表達式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值;
②由以CD為邊,點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形可得PQ∥CD,且PQ=CD,分點P在點Q上方和點P在點Q下方兩種情況,利用平行四邊形的性質(zhì)求出t值即可得答案.
(1)∵對稱軸為x=1,A(-1,0),
∴B(3,0),
設(shè)所求拋物線的表達式為y=a(x+1)(x-3),
∵拋物線經(jīng)過C(0,3)兩點,
∴3=a(0+1)(0-3),
解得:a=-1,
∴所求拋物線的表達式為y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.
(2)①如圖,連結(jié)BC,過點P作PE∥y軸,交BC于點E,
∵B(3,0),C(0,3),
∴直線BC的解析式為y=-x+3.
∵OB=3OD,OB=OC=3,
∴OD=1,CD=2.
設(shè)P(t,-t2+2t+3),則E(t,-t+3).
∴PE=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t.
∴S四邊形CDBP=S△BCD+S△BPC=CD·OB+PE·OB,
∴S=
∵a=<0,且0<t<3,
∴當(dāng)t=時,S的最大值為.
②∵以CD為邊,點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形,
∴PQ∥CD,且PQ=CD=2,
∵點P在拋物線上,點Q在直線BC上,
∴點P(t,-t2+2t+3),點Q(t,-t+3).
分兩種情況討論:
第一種情況:如圖,當(dāng)點P在點Q上方時,
∴(-t2+2t+3)-(-t+3)=2.即t2-3t+2=0,
解得:t1=1,t2=2,
∴P1(1,4),P2(2,3).
第二種情況:如圖,當(dāng)點P在點Q下方時,
∴(-t+3)-(-t2+2t+3)=2.即t2-3t-2=0,
解得:t3=,t4=,
∴P3(,),P4(,).
綜上所述,所有符合條件的點P的坐標分別為:P1(1,4), P2(2,3),P3(,), P4(,).
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【題目】如圖,在正方形中,,與相切于點,、是正方形與圓的另兩個交點.
(1)__________,圓心到直線的距離為__________;
(2)求的半徑長和的值.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求的值和圖象的頂點坐標;
(2)點在該二次函數(shù)圖象上.
①當(dāng)時,求的值;
②若點到軸的距離小于2,請根據(jù)圖象直接寫出的取值范圍;
③直接寫出點與直線的距離小于時的取值范圍.
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【題目】(1)如圖1,將矩形ABCD折疊,使BC落在對角線BD上,折痕為BE,點C落在點C'處,若∠ADB=54°,則∠DBE的度數(shù)為 °.
(2)小明手中有一張矩形紙片ABCD,AB=4,AD=9.(畫一畫)如圖2,點E在這張矩形紙片的邊AD上,將紙片折疊,使AB落在CE所在直線上,折痕設(shè)為MN(點M,N分別在邊AD,BC上),利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN(不寫作法,保留作圖痕跡,并用黑色水筆把線段MN描清楚);
(3)(算一算)如圖3,點F在這張矩形紙片的邊BC上,將紙片折疊,使FB落在射線FD上,折痕為GF,點A,B分別落在點A',B'處,若AG=,求B'D的長;
(4)(驗一驗)如圖4,點K在這張矩形紙片的邊AD上,DK=3,將紙片折疊,使AB落在CK所在直線上,折痕為HI,點A,B分別落在點A',B'處,小明認為B'I所在直線恰好經(jīng)過點D,他的判斷是否正確,請說明理由.
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【題目】如圖,中,,,,為半圓的直徑,將沿射線方向平移得到△A1B1C1.當(dāng)與半圓相切于點時,平移的距離的長為__________.
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【題目】數(shù)學(xué)活動課上,小明和小紅要測量小河對岸大樹BC的高度,小紅在點A測得大樹頂端B的仰角為45°,小明從A點出發(fā)沿斜坡走3米到達斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為31°,且斜坡AF的坡比為1:2.
(1)求小明從點A到點D的過程中,他上升的高度;
(2)依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出大樹BC的高度?若能,請計算;若不能,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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【題目】為落實疫情期間的垃圾分類,樹立全面環(huán)保意識,某校舉行了“垃圾分類,綠色環(huán)!敝R競賽活動,根據(jù)學(xué)生的成績劃分為,,,四個等級,并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計圖:
根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)參加知識競賽的學(xué)生共有______人,并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,______,______,等級對應(yīng)的圓心角為______度;
(3)小明是四名獲等級的學(xué)生中的一位,學(xué)校將從獲等級的學(xué)生中任選取2人,參加市舉辦的知識競賽,請用列表法或畫樹狀圖,求小明被選中參加區(qū)知識競賽的概率.
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【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上異于A、B的一點,過C點的切線與BA的延長線交于D點,E為CD上一點,連接EA并延長交⊙O于H,F為EH上一點,且EF=CE,CF交延長線交⊙O于G.
(1)求證:弧AG=弧GH;
(2)若E為DC的中點,sim∠CDO=,AH=2,求⊙O的半徑.
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【題目】在滑草過程中,小明發(fā)現(xiàn)滑道兩邊形如兩條雙曲線,如圖,點A1,A2,A3…在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點B1,B2,B3…反比例函數(shù)y=(k>1,x>0)的圖象上,A1B1∥A2B2…∥y軸,已知點A1,A2…的橫坐標分別為1,2,…,令四邊形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面積分別為S1、S2、…
(1)用含k的代數(shù)式表示S1=_____.
(2)若S19=39,則k=_____.
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