【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上異于A、B的一點,過C點的切線與BA的延長線交于D點,E為CD上一點,連接EA并延長交⊙O于H,F為EH上一點,且EF=CE,CF交延長線交⊙O于G.
(1)求證:弧AG=弧GH;
(2)若E為DC的中點,sim∠CDO=,AH=2,求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2)⊙O的半徑為3
【解析】
(1)連接AC,BC,根據(jù)AB為⊙O的直徑,可得∠B+∠CAO=90°,根據(jù)CD為⊙O的切線,可得∠ECA+∠ACO=90°,再根據(jù)等邊對等角和角的和差關(guān)系可得∠ACG=∠GAF=∠GCH,即可得證.
(2)過點E作EN⊥DA,連接OC,OG,OG與AH交于點M,設(shè)CO=x,根據(jù)勾股定理、三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)列式求出x的值即可.
(1)證明:如圖1,連接AC,BC,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAO=90°,
∵CD為⊙O的切線,
∴∠ECA+∠ACO=90°,
∵OC=OA,
∴∠ACO=∠OAC,
∴∠ECA=∠B,
∵EF=CE,
∴∠ECF=∠EFC,
∵∠ECF=∠ECA+∠ACG,∠EFC=∠GAF+∠G,
∵∠ECA=∠B=∠G,
∴∠ACG=∠GAF=∠GCH,
∴;
(2)解:過點E作EN⊥DA,連接OC,OG,OG與AH交于點M,
∵,
∴OG⊥AH,AM=MH=,
∵CD是⊙O的切線,
∴∠DCO=90°,
設(shè)CO=x,
∵sin∠CDO==,
∴DO=3x,
∴,
∵E為DC的中點,
∴CE=DE==,
∴,
∴,
∴,
∵∠EAN=∠OAM,∠ENA=∠OMA,
∴△AEN∽△AOM,
∴,
∴,
∴OM=,
在Rt△AOM中,OA=.
∴⊙O的半徑為3.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=2,BC=3.點D為AC的中點,聯(lián)結(jié)BD,過點C作CG⊥BD,交AC的垂線AG于點G,GC分別交BA、BD于點F、E.
(1)求GA的長;
(2)求△AFC的面積.
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【題目】如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過、兩點,與軸的另一個交點為,點在軸上,且.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)設(shè)該拋物線上的一個動點的橫坐標(biāo)為.
①當(dāng)時,求四邊形的面積與的函數(shù)關(guān)系式,并求出的最大值;
②點在直線上,若以為邊,點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)與軸交于、兩點(點在點左),與軸交于點,連接,點為二次函數(shù)圖象上的動點.
(1)若的面積為3,求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,若在軸上存在點,使得,求點的坐標(biāo);
(3)若為對稱軸右側(cè)拋物線上的動點,直線交軸于點,直線交軸于點,判斷的值是否為定值,若是,求出定值,若不是請說明理由.
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【題目】已知:
圖1 圖2 圖3
(1)初步思考:
如圖1, 在中,已知,BC=4,N為BC上一點且,試說明:
(2)問題提出:
如圖2,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,求的最小值.
(3)推廣運用:
如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,∠B﹦60°,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點,求的最大值.
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【題目】中國飛人蘇炳添以6秒47獲得2019年國際田聯(lián)伯明翰室內(nèi)賽男子60米冠軍,蘇炳添奪冠掀起跑步熱潮某校為了解該校八年級男生的短跑水平,全校八年級男生中隨機抽取了部分男生,對他們的短跑水平進行測試,并將測試成績(滿分10分)繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表:
組別 | 成績/分 | 人數(shù)/人 |
A | 5 | 36 |
B | 6 | 32 |
C | 7 | 15 |
D | 8 | 8 |
E | 9 | 5 |
F | 10 | m |
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:
(1)填空:m=_____,n=_____;
(2)所抽取的八年級男生短跑成績的眾數(shù)是_____分,扇形統(tǒng)計圖中E組的扇形圓心角的度數(shù)為____°;
(3)求所抽取的八年級男生短跑的平均成績.
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【題目】如圖,等腰△ABC的底邊BC=20,面積為120,點F在邊BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分線,若點D在EG上運動,則△CDF周長的最小值為__.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點,點,點.
(1)畫出關(guān)于軸的對稱圖形,并寫出點的對稱點的坐標(biāo);
(2)若點在軸上,連接、,則的最小值是 ;
(3)若直線軸,與線段、分別交于點、(點不與點重合),若將沿直線翻折,點的對稱點為點,當(dāng)點落在的內(nèi)部(包含邊界)時,點的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .
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【題目】已知點P(2,﹣3)在拋物線L:y=ax2﹣2ax+a+k(a,k均為常數(shù)且a≠0)上,L交y軸于點C,連接CP.
(1)用a表示k,并求L的對稱軸;
(2)當(dāng)L經(jīng)過點(4,﹣7)時,求此時L的表達式及其頂點坐標(biāo);
(3)橫,縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.如圖,當(dāng)a<0時,若L在點C,P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有5個整點,求a的取值范圍;
(4)點M(x1,y1),N(x2,y2)是L上的兩點,若t≤x1≤t+1,當(dāng)x2≥3時,均有y1≥y2,直接寫出t的取值范圍.
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