Question

【題目】如圖1，在中，，點是延長線上的一點，，垂足為，聯(lián)結.

(1)求證:

(2)當點是中點時，求的值;

(3)如圖2，的延長線交的平行線于點，求證:

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題中已知條件易證∽，根據(jù)相似三角形的性質可得，這個式子可以轉化為，再根據(jù)，可證明∽.

（2）在中利用勾股定理可得出，因為，可得出，CD=8，可得，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得BD=，所以ED，在Rt△EFD中，設EF=m，則DF=2m，根據(jù)勾股定理列出方程，解得m的值，可得EF=2，FD=4，所以F為CD中點，又EF⊥CD，可得EC=ED，∠ECD=∠D，所以得到.

（3）根據(jù)可得，推出根據(jù)，可得即：，再根據(jù)等角的余角相等可證出即可得出∽.

(1)

∽

∽；

(2)如圖，過點E作EF⊥CD于點F

在中，，

由勾股定理得：

∵在Rt△BCD中，BC=4，CD=8，

∴由勾股定理得：BD=，

∵E為BD中點，

∴ED=，

在Rt△EFD中，, ，

設EF=m，則DF=2m，

根據(jù)勾股定理可得：,

解得：m=2

∴EF=2，FD=4，

∵CD=8，

∴F為CD中點，

又∵EF⊥CD，

∴EC=ED，∠ECD=∠D

；

(3)

，

∽

∽.