Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若直線(xiàn)y=kx+t經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)剿鳎涸?/span>x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線(xiàn)CD相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y =-x2+2x+3;(2)證明見(jiàn)解析；（3）滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1， ）．

【解析】（1）解：由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是M（1，4），

設(shè)解析式為y=a（x-1）2+4（a＜0）

又拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），

所以3=a（2-1）2+4，解得a=-1

所以所求拋物線(xiàn)的解析式為y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3

（2）證明：直線(xiàn)y=kx+t經(jīng)過(guò)C(0,3)、M（1，4）兩點(diǎn)，

∴,即k=1，t=3，即：直線(xiàn)解析式為y=x+3…4分

求得A(-1，0),D(-3，0)，∴AD=2

∵C(0,3), N（2，3）

∴CN=2= AD，且CN∥AD

∴四邊形CDAN是平行四邊形．……………6分

（3）解：假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線(xiàn)CD相切，設(shè)P（1，u）其中u＞0，

則PA是圓的半徑且PA2=u2+22過(guò)P做直線(xiàn)CD的垂線(xiàn)，垂足為Q，則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線(xiàn)CD相切．

由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=

由PQ2=PA2得方程：=u2+22， ……………………………………8分

解得，舍去負(fù)值u=，符合題意的u=，…………9分

所以，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，）．…