Question

如圖，拋物線y=﹣x²+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）令y=0，則﹣x²+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，

解得 x₁=﹣1，x₂=4．

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣3²+3×3+4=4，

∴D（3，4）．

如圖，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．

∵C（0，4），

∴CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC=45°．

在直角△OBC中，∵OC=OB=4，

∴BC=4．

在直角△CDE中，CD=3．

∴CE=ED=，

∴BE=BC﹣DE=．

∴tan∠DBC==；

（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠CBF=∠DBP=45°，

∴∠PBF=∠DBC，

∴tan∠PBF=．

設(shè)P（x，﹣x²+3x+4），則=，

解得 x₁=﹣，x₂=4（舍去），

∴P（﹣，）．