Question

【題目】心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化．開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分）：

（1）求出線段AB，曲線CD的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）開(kāi)始上課后第五分鐘時(shí)與第三十分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？

（3）一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指數(shù)最低達(dá)到36，那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？

Answer 1

【答案】（1）AB解析式為：y1=2x+20（0≤x≤10）．曲線CD的解析式為：y2=（x≥25）；（2）第30分鐘注意力更集中．（3）經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法分別求出AB和CD的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而得出答案；

（2）利用（1）中所求解析式，計(jì)算出第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判斷；

（3）分別求出注意力指數(shù)為36時(shí)的兩個(gè)時(shí)間，再將兩時(shí)間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能．

（1）設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，

把B（10，40）代入得，k1=2，

∴AB解析式為：y1=2x+20（0≤x≤10）．

設(shè)C、D所在雙曲線的解析式為y2=，

把C（25，40）代入得，k2=1000，

∴曲線CD的解析式為：y2=（x≥25）；

（2）當(dāng)x1=5時(shí)，y1=2×5+20=30，

當(dāng)x2=30時(shí)，y2=，

∴y1＜y2

∴第30分鐘注意力更集中．

（3）令y1=36，

∴36=2x+20，

∴x1=8

令y2=36，

∴36=，

∴x2=≈27.8，

∵27.8-8=19.8＞19，

∴經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目．