Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（-6，0），點B（0，2

3

），點P在第二象限內(nèi)，若以點P、B、O為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等的情況），則點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,坐標與圖形性質(zhì)

專題：計算題

分析：由三角函數(shù)可求出∠A=30°，∠ABO=60°，作OP₁⊥AB于P₁，作P₁C⊥y軸，過點B作BP₂⊥y軸交OP₁于P₂，作∠ABO的平分線BD，過點O作OP₃⊥BD于P₃，過P₃作P₃E⊥x軸于E，如圖，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷△BP₁O∽△BOA，△P₂OB∽△BAO，△P₃OB∽△OBA，然后分別確定P₁、P₂、P₃的坐標．

解答：解：∵點A（-6，0），點B（0，2

3

），
∴OA=6，OB=2

3

，
∴tanA=

OB

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠A=30°，
∴∠ABO=60°，
作OP₁⊥AB于P₁，作P₁C⊥y軸，過點B作BP₂⊥y軸交OP₁于P₂，作∠ABO的平分線BD，過點O作OP₃⊥BD于P₃，過P₃作P₃E⊥x軸于E，如圖，
∵∠BP₁O=∠BOA=90°，∠P₁BO=∠OBA，
∴△BP₁O∽△BOA，
在Rt△OBP₁中，∵sin∠OBP₁=

OP1

OB

，
∴OP₁=2

3

sin60°=3，
在Rt△OP₁C中，∵∠P₁OC=30°，
∴P₁C=

1

2

OP₁=

3

2

，OC=

3

P₁C=

3 3

2

，
∴P₁點的坐標為（-

3

2

，

3 3

2

）；
∵∠P₂OB=∠A=30°，
∴△P₂OB∽△BAO，
在Rt△OP₂B中，∵∠P₂OB=30°，
∴P₂B=

3

3

OB=

3

3

×2

3

=2，
∴P₂點的坐標為（-2，2

3

）；
∵∠P₃BO=∠A=30°，
∴△P₃OB∽△OBA，
在Rt△OP₃B中，∵∠P₃BO=30°，
∴OP₃=

1

2

OB=

3

，∠P₃OB=60°，
∴∠P₃OE=30°，
在Rt△P₃OE中，P₃E=

1

2

OP₃=

3

2

，OE=

3

P₃E=

3

2

，
∴P₃點的坐標為（-

3

2

，

3

2

）；
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-

3

2

，

3 3

2

）或（-2，2

3

）或（-

3

2

，

3

2

）．
故答案為（-

3

2

，

3 3

2

）或（-2，2

3

）或（-

3

2

，

3

2

）．

點評：本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了坐標與圖形性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．根據(jù)題意畫出幾何圖形是解題的關(guān)鍵．