Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E（m，2）是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，連接EA、EB、EC，EB與y軸交于D．

①點(diǎn)F是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，當(dāng)以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似時(shí)，求出線段EF的長(zhǎng)；

②點(diǎn)G為y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作直線CE的垂線，垂足為H，若∠GCH＝∠EBA，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）①EF的長(zhǎng)為2或2；②點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）①得出，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可求出的長(zhǎng)；

②（Ⅰ）求出直線的解析式為，得出，則，得出，由，設(shè)，則，，則，解得，，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證得，由（Ⅰ）知：，則，設(shè)，則，證明，則，，又，得出，代入中，得，可求出點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）將A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x+3；

（2）①將E（m，2）代入y＝﹣x+3中，

得﹣m+3＝0，解得m＝﹣2或1（舍去），

∴E（﹣2，2），

∵A（﹣3，0）、B（2，0），

∴AB＝5，AE＝，BE＝2，

∴AB2＝AE2+BE2，

∴∠AEB＝∠DOB＝90°，

∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，

∴∠EAB＝∠ODB，

（Ⅰ）當(dāng)△FEA∽△BOD時(shí)，

∴∠AEF＝∠DOB＝90°，

∴F與B點(diǎn)重合，

∴EF＝BE＝2，

（Ⅱ）當(dāng)△EFA∽△BOD時(shí)，

∴∠AFE＝∠DOB＝90°，

∵E（﹣2，2），

∴EF＝2，

故：EF的長(zhǎng)為2或2；

②點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，，

（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)H作HN⊥CO于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥HN于點(diǎn)M，

∴∠GMN＝∠CNH＝90°，

又∠GHC＝90°，

∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，

∴∠CHN＝∠MGH，

∵HN⊥CO，∠COP＝90°，

∴HN∥AB，

∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，

∵E（﹣2，2），C（0，3），

∴直線CE的解析式為y＝x+3，

∴P（﹣6，0），

∴EP＝EB＝2，

∴∠APE＝∠EBA，

∵∠GCH＝∠EBA，

∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，

∴GC∥PB，

又C（0，3），

∴G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），

∴MN＝1，

∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，

∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，

設(shè)CN＝MG＝m，則HN＝2m，MH＝m，

∴MH+HN＝2m+m＝1，

解得，m＝，

∴H點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣，代入y＝x+3，得：y＝，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣，）．

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)H作MN⊥PB，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MH于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥HM于點(diǎn)M，

∴CN∥PB，

∴∠NCH＝∠APE，

由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，則∠NCH＝∠EBA，

∵∠GMN＝∠CNH＝90°，

又∠GHC＝90°，

∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，

∴∠HCN＝∠MHG，

∵∠GCH＝∠EBA，

∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，

由（Ⅰ）知：，則，

，

又，

，

，

，

，

由（Ⅰ）知：，

則，

設(shè)，則，

，，

，

，

，，又，

，代入中，得，或0（舍去），

，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得，．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜合以上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．