Question

【題目】(1)我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成丁一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.

證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×ab＋(b－a)2，

∴4×ab＋(b－a)2＝c2.

∴______________

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(2)愛動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形(如圖2)，也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過程.

(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2＋b2＝c2.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）通過化簡(jiǎn)即可證得；（2）根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積＋陰影部分小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；（3）作輔助線，構(gòu)建矩形，根據(jù)矩形的面積可得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵大正方形面積表示為S＝，又可表示為S＝4×，

∴4×=．

∴，

∴，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

故答案為：；

（2）證明：由圖得，大正方形面積＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b），

整理得，，

即 ；

（3）如圖，過A作AF⊥AB，過E作EF⊥AF于F，交BC的延長(zhǎng)線于D，則四邊形ABDF是矩形，

∵△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，

∵∠ACB＋∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ECD，

∵∠B＝∠D＝90°，

∴△ABC≌△CDE（AAS），

∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，

S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2× ，

∴．