Question

如圖，B，C在⊙O上，△OBC是等邊三角形，BA⊥OC于點D，交⊙O于點A，過點A作⊙O的切線交BC的延長線，直徑BG的延長線分別為點E、F，
（1）求證：△BEF是直角三角形；
（2）若=，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，AO，由于BD是等邊三角形△OCB的OC邊上的高，由等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高與頂角的平分線重合知，∠CBA=∠ABF=30°，由圓周角定理知，點A是弧CAG的中點，則有∠COA=∠AOF=（180°-∠BOA）÷2=60°，則△OCA也為等邊三角形，有∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°，由于AE為切線，由切線的性質(zhì)知，∠OAE=90°，有∠CAE=30°得到△BEF是直角三角形，
（2）由弧長公式知，弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3，得到圓的半徑OA=AC=2，則AE=．
解答：（1）證明：連接AC，AO
∵BD是等邊三角形△OCB的OC邊上的高
∴∠CBA=∠ABF=30°
∵∠COA=∠AOF=（180°-∠BOA）÷2=60°
∴∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°
∵AE為切線，∴∠OAE=90°
∴∠CAE=30°
∴∠E=180°-∠CAE-∠ECA=90°
即△BEF是直角三角形．

（2）解：∵弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3
∴OA=AC=2
∴AE=ACsin60°=．
點評：本題利用了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，弧長公式，正弦的概念求解．