Question

如圖，∠BAC=90°，以AB為直徑作⊙O，BD∥OC交⊙O于D點，CD與AB的延長線交于點E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BE=2，DE=4，求CD的長；

（3）在（2）的條件下，如圖2，AD交BC、OC分別于F、G，求的值．

　

Answer 1

【考點】圓的綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）連接OD，如圖1，利用平行線的性質得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，于是可根據(jù)“SAS”判定△CDO≌△CAO，則∠CDO=∠CAO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線；

（2）設⊙O半徑為r，則OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，解得r=3，即OB=3，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可計算出CD=6；

（3）如圖3，由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=3，再證明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比計算出OG=，則CG=OC﹣OG=，易得BD=2OG=，然后利用CG∥BD得到==．

【解答】（1）證明：連接OD，如圖1，

∵BD∥OC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

又∵OD=OB，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△CAO和△CDO中，

，

∴△CDO≌△CAO，

∴∠CDO=∠CAO=90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O半徑為r，則OD=OB=r，

在Rt△ODE中，∵OD²+DE²=OE²，

∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，

∴OB=3，

∵DB∥OC，

∴DE：CD=BE：OB，即4：CD=2：3，

∴CD=6；

（3）解：如圖3，

由（1）得△CDO≌△CAO，

∴AC=CD=6，

在Rt△AOC中，OC===3，

∵∠AOG=∠COA，

∴Rt△OAG∽△OCA，

∴OA：OC=OG：OA，即3：3=OG：3，

∴OG=，

∴CG=OC﹣OG=3﹣=，

∵OG∥BD，OA=OB，

∴OG為△ABD的中位線，

∴BD=2OG=，

∵CG∥BD，

∴===．

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理；會利用三角形全等解決角和線段相等的問題；能運用勾股定理、平行線分線段成比例定理和相似比計算線段的長．