如圖,∠BAC=90°,以AB為直徑作⊙O,BD∥OC交⊙O于D點,CD與AB的延長線交于點E.

(1)求證:CD是⊙O的切線;

(2)若BE=2,DE=4,求CD的長;

(3)在(2)的條件下,如圖2,AD交BC、OC分別于F、G,求的值.

 


【考點】圓的綜合題.

【專題】綜合題.

【分析】(1)連接OD,如圖1,利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠3,∠2=∠4,加上∠3=∠4,則∠1=∠2,于是可根據(jù)“SAS”判定△CDO≌△CAO,則∠CDO=∠CAO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線;

(2)設(shè)⊙O半徑為r,則OD=OB=r,在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=(r+2)2,解得r=3,即OB=3,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理,由DB∥OC得到DE:CD=BE:OB,于是可計算出CD=6;

(3)如圖3,由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6,在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=3,再證明Rt△OAG∽△OCA,利用相似比計算出OG=,則CG=OC﹣OG=,易得BD=2OG=,然后利用CG∥BD得到==

【解答】(1)證明:連接OD,如圖1,

∵BD∥OC,

∴∠1=∠3,∠2=∠4,

又∵OD=OB,

∴∠3=∠4,

∴∠1=∠2,

在△CAO和△CDO中,

∴△CDO≌△CAO,

∴∠CDO=∠CAO=90°,

∴CD⊥OD,

∴CD是⊙O的切線;

(2)解:設(shè)⊙O半徑為r,則OD=OB=r,

在Rt△ODE中,∵OD2+DE2=OE2,

∴r2+42=(r+2)2,解得r=3,

∴OB=3,

∵DB∥OC,

∴DE:CD=BE:OB,即4:CD=2:3,

∴CD=6;

(3)解:如圖3,

由(1)得△CDO≌△CAO,

∴AC=CD=6,

在Rt△AOC中,OC===3,

∵∠AOG=∠COA,

∴Rt△OAG∽△OCA,

∴OA:OC=OG:OA,即3:3=OG:3,

∴OG=

∴CG=OC﹣OG=3=,

∵OG∥BD,OA=OB,

∴OG為△ABD的中位線,

∴BD=2OG=,

∵CG∥BD,

===

【點評】本題考查了圓的綜合題:熟練掌握切線的判定定理;會利用三角形全等解決角和線段相等的問題;能運用勾股定理、平行線分線段成比例定理和相似比計算線段的長.


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