Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AC上的點(diǎn)EG⊥BC，EF⊥AB．
（1）試猜測DE與FG關(guān)系如何？并說明理由
（2）如果正方形ABCD的邊長為4cm，求四邊形BGEF的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；首先證明△ABE≌△ADE，得到BE=DE；證明四邊形EFBG為矩形，得到FG=BE，即可解決問題．
（2）證明AF=EF，進(jìn)而得到BF+EF=BF+AF=AB=4；證明四邊形BGEF的周長=2（BF+EF），即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接BE；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC；
在△ABE與△ADE中，

AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE

，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE；
∵EG⊥BC，EF⊥AB，∠FBG=90°，
∴四邊形EFBG為矩形，
∴FG=BE，
∴DE=FG．
（2）∵∠EAF=45°，EF⊥AF，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴AF=EF，BF+EF=BF+AF=AB=4，
∵四邊形BGEF為矩形，
∴四邊形BGEF的周長=2（BF+EF）=8（cm）．

點(diǎn)評：該題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)．