Question

【題目】（閱讀材料）

小明遇到這樣一個問題：如圖1，點(diǎn)P在等邊三角形ABC內(nèi)，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，求PB的長．

小明發(fā)現(xiàn)，以AP為邊作等邊三角形APD，連接BD，得到△ABD；由等邊三角形的性質(zhì)，可證△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，進(jìn)而可求得PB的長．

（1）請回答：在圖1中，∠PDB＝　 　°，PB＝　 　．

（問題解決）

（2）參考小明思考問題的方法，解決下面問題：

如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的長．

（靈活運(yùn)用）

（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα＝，點(diǎn)P在△ABC外，且PB＝3，PC＝1，直接寫出PA長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）90°，5；（2） ；（3） .

【解析】

（1）由△ACP≌△ABD，得∠ADB=∠APC=150°，PC=BD=4，AD=AP=3，因?yàn)?/span>△ADP為等邊三角形，所以∠ADP=60°，DP=AD=3，可得∠BDP=90°，在Rt△BDP中，用勾股定理可求得PB的長；

（2）如圖2中，把△ACP繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD．首先證明∠PDB=90°，再證明A，P，D共線，利用勾股定理即可解決問題．

（3）如圖3中，作CD⊥CP，使得CD=PC=，則PD=，利用相似三角形的性質(zhì)求出AD，即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵△ACP≌△ABD，

∴∠PDB＝∠APC＝150°，PC＝BD＝4，AD＝AP＝3，

∵△ADP為等邊三角形，

∴∠ADP＝60°，DP＝AD＝3，

∴∠BDP＝150°﹣60°＝90°，

∴PB＝＝5．

（2）如圖2中，把△ACP繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD．

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，

∴△PCD是等腰直角三角形，

∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，

∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，

∴PD2+BD2＝PB2，

∴∠PDB＝90°，

∴∠BDC＝135°，

∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°，

∴∠APC+∠CPD＝180°，

∴A，P，D共線，

∴AD＝AP+PD＝5，

在RtADB中，AB＝．

（3）如圖3中，作CD⊥CP，使得CD＝PC＝，則PD＝，

∵tan∠BAC＝，

∴，

∵∠ACB＝∠PCD＝90°，

∴∠ACD＝∠BCP，

∴△ACD∽△BCP，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴PA的最大值為．