如圖,已知直線AB:與拋物線交于A、B兩點,
(1)直線AB總經(jīng)過一個定點C,請直接寫出點C坐標;
(2)當時,在直線AB下方的拋物線上求點P,使△ABP的面積等于5;
(3)若在拋物線上存在定點D使∠ADB=90°,求點D到直線AB的最大距離.
(1)(-2,4);(2)(-2,2)或(1, );(3).
解析試題分析:(1)要求定點的坐標,只需尋找一個合適x,使得y的值與k無關(guān)即可.
(2)只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式,就可求出點A、B的坐標.設(shè)出點P的橫坐標為a,運用割補法用a的代數(shù)式表示△APB的面積,然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程,從而求出a的值,進而求出點P的坐標.
(3)設(shè)點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t,從條件∠ADB=90°出發(fā),可構(gòu)造k型相似,從而得到m、n、t的等量關(guān)系,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t,從而求出點D的坐標.由于直線AB上有一個定點C,容易得到DC長就是點D到AB的最大距離,只需構(gòu)建直角三角形,利用勾股定理即可解決問題.
試題解析:(1)∵當x=-2時,,
∴直線AB:y=kx+2k+4必經(jīng)過定點(-2,4).
∴點C的坐標為(-2,4).
(2)∵,
∴直線AB的解析式為.
聯(lián)立 ,解得: 或.
∴點A的坐標為(-3,),點B的坐標為(2,2).
如答圖1,過點P作PQ∥y軸,交AB于點Q,過點A作AM⊥PQ,垂足為M,過點B作BN⊥PQ,垂足為N.
設(shè)點P的橫坐標為a,則點Q的橫坐標為a.
∴.
∵點P在直線AB下方,∴.
∵,
∴,
整理得:,解得:.
當時,.此時點P的坐標為(-2,2).
當a=1時,.此時點P的坐標為(1, ).
∴符合要求的點P的坐標為(-2,2)或(1, ).
(3)如答圖2,過點D作x軸的平行線EF,作AE⊥EF,垂足為E,作BF⊥EF,垂足為F.
∵AE⊥EF,BF⊥EF,∴∠AED=∠BFD=90°.
∵∠ADB=90°,∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF.
∵∠AED=∠BFD,∠ADE=∠DBF,∴△AED∽△DFB.∴.
設(shè)點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t,
則點A、B、D的縱坐標分別為,
∴.
∴,化簡得:.
∵點A、B是直線AB:與拋物線交點,
∴m、n是方程即兩根.∴.
∴,即,即.
∴(舍).
∴定點D的坐標為(2,2).
如答圖3,過點D作x軸的平行線DG,
過點C作CG⊥DG,垂足為G,
∵點C(-2,4),點D(2,2),∴CG=4-2=2,DG=2-(-2)=4.
∵CG⊥DG,∴.
過點D作DH⊥AB,垂足為H,如答圖3所示,
∴DH≤DC.∴DH≤.
∴當DH與DC重合即DC⊥AB時,
點D到直線AB的距離最大,最大值為 .
∴點D到直線AB的最大距離為.
考點:1.二次函數(shù)綜合題;2. 因式分解法解一元二次方程;3.根與系數(shù)的關(guān)系;4.勾股定理;5.相似三角形的判定和性質(zhì);6.分類思想的應(yīng)用.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
今年5月1日起實施《青海省保障性住房準入分配退出和運營管理實施細則》規(guī)定:公共租賃住房和廉租住房并軌運行(以下簡稱并軌房),計劃10年內(nèi)解決低收入人群住房問題.已知第x年(x為正整數(shù))投入使用的并軌房面積為y百萬平方米,且y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5.由于物價上漲等因素的影響,每年單位面積租金也隨之上調(diào).假設(shè)每年的并軌房全部出租完,預(yù)計第x年投入使用的并軌房的單位面積租金z與時間x滿足一次函數(shù)關(guān)系如下表:
時間x(單位:年,x為正整數(shù)) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
單位面積租金z(單位:元/平方米) | 50 | 52 | 54 | 56 | 58 | |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直線y=x+m與拋物線y=x2-2x+l交于不同的兩點M、N(點M在點N的左側(cè)).
(1)設(shè)拋物線的頂點為B,對稱軸l與直線y=x+m的交點為C,連結(jié)BM、BN,若S△MBC=S△NBC,求直線MN的解析式;
(2)在(1)條件下,已知點P(t,0)為x軸上的一個動點,
①若△PMN為直角三角形,求點P的坐標.
②若∠MPN>90°,則t的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線y=x²+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點.點A的橫坐標為-3,點B在y軸上,點P是y軸左側(cè)拋物線上的一動點,橫坐標為m,過點P作PC⊥x軸于C,交直線AB于D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當m為何值時,;
(3)是否存在點P,使△PAD是直角三角形,若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖①,已知二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx(a>0),頂點為A(1,-1).
(1)a= ;
(2)若點P在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖像上運動,連結(jié)OP,交對稱軸于點B,點B關(guān)于頂點A的對稱點為C,連接PC、OC,求證:∠PCB=∠OCB;
(3)如圖②,將拋物線沿直線y=-x作n次平移(n為正整數(shù),n≤12),頂點分別為A1,A2,…,An,橫坐標依次為1,2,…,n,各拋物線的對稱軸與x軸的交點分別為D1,D2,…,Dn,以線段AnDn為邊向右作正方形AnDnEnFn,是否存在點Fn恰好落在其中的一個拋物線上,若存在,求出所有滿足條件的正方形邊長;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點,過點A作直線AC⊥x軸,交直線于點C;
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求點A關(guān)于直線的對稱點的坐標,判定點是否在拋物線上,并說明理由;
(3)點P是拋物線上一動點,過點P作y軸的平行線,交線段于點M,是否存在這樣的點P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖, 已知拋物線與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點A的坐標為(2,0),點C的坐標為(0,-1)。
(1)求拋物線的解析式;
(2)點E是線段AC上一動點,過點E作DE⊥x軸于點D,連結(jié)DC,當△DCE的面積最大時,求點D的坐標;
(3)在直線BC上是否存在一點P,使△ACP為等腰三角形,若存在,求點P的坐標,若不存在,說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若m為整數(shù),當此方程有兩個互不相等的負整數(shù)根時,求m的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線與x軸交點為A、B(點B在點A的右側(cè)),與y軸交于點C.點O為坐標原點,點P在直線BC上,且OP=BC,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè),某市政府出臺了相關(guān)政策:由政府協(xié)調(diào),本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售,成本價與出廠價之間的差價由政府承擔,李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈,已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元,出廠價為每件12元,每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù):y=-10x+500.
⑴李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元,那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元?
⑵設(shè)李明獲得的利潤為W(元),當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?
⑶物價部門規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元,如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元,那么政府為他承擔的總差價最少為多少元?
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