Question

為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)，李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=－10x＋500．
⑴李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？
⑵設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為W(元)，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
⑶物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？

Answer 1

（1）600；（2）30；（3）500.

解析試題分析：（1）根據(jù)銷售額=銷售量×銷售單價(jià)，列出函數(shù)關(guān)系式；
（2）用配方法將（2）的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；
（3）把y=3000代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求x，根據(jù)x的取值范圍求x的值．
試題解析：⑴當(dāng)x=20時(shí)，y=－10x＋500=－10×20+500=300，
300×(12－10)=300×2=600，
即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元．
⑵依題意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x²+600x－5000=－10(x－30)²+4000
∵a=－10＜0，∴當(dāng)x=30時(shí)，W有最大值4000．
即當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)4000元．
⑶由題意得：－10x²＋600x－5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=－10＜0，拋物線開口向下，
∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，W≥3000．

又∵x≤25，
∴當(dāng)20≤x≤25時(shí)，W≥3000．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，
∴p=(12－10)×(－10x+500)
=－20x＋1000．
∵k=－20＜0．
∴p隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=25時(shí)，p有最小值500．
即銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．
考點(diǎn): 二次函數(shù)的應(yīng)用．