【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將點(diǎn)P沿著y軸翻折,得到的對應(yīng)點(diǎn)再沿著直線l翻折得到點(diǎn)P1,則P1稱為點(diǎn)P的“l變換點(diǎn)”.
(1)已知:點(diǎn)P(1,0),直線l:x=2,求點(diǎn)P的“l變換點(diǎn)”的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)Q和它的“l變換點(diǎn)”Q1的坐標(biāo)分別為(2,1)和(3,2),求直線l的解析式;
(3)如圖,⊙O的半徑為2.
①若⊙O上存在點(diǎn)M,點(diǎn)M的“l變換點(diǎn)”M1在射線x(x≥0)上,直線l:x=b,求b的取值范圍;
②將⊙O在x軸上移動(dòng)得到⊙E,若⊙E上存在點(diǎn)N,使得點(diǎn)N的“l變換點(diǎn)”N1在y軸上,且直線l的解析式為y=x+1,求E點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】(1)(5,0);(2)y=﹣5x+4;(3)①﹣1≤b≤2;②﹣4≤t≤
+4.
【解析】
(1)根據(jù)“l變換點(diǎn)”的定義,分別畫出圖形,即可解決問題;
(2)根據(jù)“l變換點(diǎn)”的定義,得到對稱點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法即可得到結(jié)論;
(3)①根據(jù)“l變換點(diǎn)”的定義,畫出圖形,求出b的最大值以及最小值即可解決問題;
②如圖6中,設(shè)點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為E1,E1關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)為E′,易知當(dāng)點(diǎn)N在⊙E上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)N′在⊙E′上運(yùn)動(dòng),由此可見當(dāng)⊙E′與y軸相切或相交時(shí)滿足條件,想辦法求出點(diǎn)E′的坐標(biāo)即可解決問題.
解:(1)如圖1,點(diǎn)P(1,0)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(﹣1,0),再關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)P1(5,0);
(2)點(diǎn)Q(2,1)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(﹣2,1),
設(shè)過點(diǎn)(﹣2,1)和(3,2)的直線的解析式為y=kx+b,
,
解得
k=﹣,b=
,
∴y=﹣x+
,
∵點(diǎn)(﹣2,1)和(3,2)關(guān)于直線l對稱,
∴直線l過點(diǎn)(﹣2,1)和(3,2)連線的中點(diǎn)且與直線y=x+
垂直,
∵點(diǎn)(﹣2,1)和(3,2)連線的中點(diǎn)為(,
),
∴設(shè)直線l的解析式為y=﹣5x+n,
∴=﹣5×
+n,
解得:n=4,
∴直線l的解析式為:y=﹣5x+4;
(3)①如圖4中,
由題意b=M1M′,由此可知,當(dāng)M1M′的值最大時(shí),可得b的最大值,
∵直線OM′的解析式為y=x,
∴tan∠M′OD=,
∴∠MM′O=∠M′OD=30°,
∵OM=2,易知,OM⊥OM′時(shí),MM′的值最大,最大值為4,
∴b的最大值為2,
如圖5中,易知當(dāng)點(diǎn)M在x軸的正半軸上時(shí),可得b的最小值,最小值為﹣1,
綜上所述,滿足條件的b取值范圍為﹣1≤b≤2;
②設(shè)E(t,0),如圖6中,設(shè)點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為E1,E1關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)為E′,易知當(dāng)點(diǎn)N在⊙E上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)N′在⊙E′上運(yùn)動(dòng),由此可見當(dāng)⊙E′與y軸相切或相交時(shí)滿足條件.
連接E1E′交直線y=x+1于K,易知直線E1E′的解析式為y=﹣
x﹣
,
由,解得
,
∴K(,
),
∵KE1=KE′,
∴E′(,
),
當(dāng)⊙E′與y軸相切時(shí),||=2,解得t=
﹣4或
+4,
綜上所述,滿足條件的t的取值范圍為﹣4≤t≤
+4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】撫順某中學(xué)為了解八年級學(xué)生的體能狀況,從八年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測試,測試結(jié)果分為A,B,C,D四個(gè)等級.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求測試結(jié)果為C等級的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形圖;
(3)若該中學(xué)八年級共有700名學(xué)生,請你估計(jì)該中學(xué)八年級學(xué)生中體能測試結(jié)果為D等級的學(xué)生有多少名?
(4)若從體能為A等級的2名男生2名女生中隨機(jī)的抽取2名學(xué)生,做為該校培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)員的重點(diǎn)對象,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形OABC的邊長為2,點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在x軸正半軸上,∠AOC=60°,若將菱形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°,得到四邊形OA′B′C′,則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與
軸相交于點(diǎn)
,與過點(diǎn)
平行于
軸的直線相交于點(diǎn)
(點(diǎn)
在第一象限).拋物線的頂點(diǎn)
在直線
上,對稱軸與
軸相交于點(diǎn)
.平移拋物線,使其經(jīng)過點(diǎn)
、
,則平移后的拋物線的解析式為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A(a,1),B(b,3)都在雙曲線y=﹣上,點(diǎn)P,Q分別是x軸,y軸上的動(dòng)點(diǎn),則四邊形ABPQ周長的最小值為( 。
A.4B.6
C.2
+2
D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AD⊥BC,垂足為D,AD=BD,點(diǎn)E在AD上,∠CED=45°,
(1)請寫出圖中相等的線段: .(不包括已知條件中的相等線段)
(2)猜想BE與AC的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)因式分解:___________.
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(6,0),B(0,2),以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑畫弧,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為_______.扇形BAC的面積為______.
(3)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在射線OM上,點(diǎn)
在射線ON上,以AB為直角邊作Rt△ABA1,以BA1為直角邊作第二個(gè)Rt△BA1B1,則點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)為________,然后以A1B1為直角邊作第三個(gè)Rt△A1B1A2,…,依次規(guī)律,得到Rt△B2019A2020B2020,則點(diǎn)B2020的縱坐標(biāo)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.,垂足為E,AB=12,AC=10,BD=26,則AE的長為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有紅、黃兩個(gè)布袋,紅布袋中有兩個(gè)完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字2和4.黃布袋中有三個(gè)完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字﹣2,﹣4和﹣6.小賢先從紅布袋中隨機(jī)取出一個(gè)小球,記錄其標(biāo)有的數(shù)字為x,再從黃布袋中隨機(jī)取出一個(gè)小球,記錄其標(biāo)有的數(shù)字為y,這樣就確定點(diǎn)M的一個(gè)坐標(biāo)為(x.y)
(1)用列表或畫樹狀圖的方法寫出點(diǎn)M的所有可能坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)M落在雙曲線y=上的概率.
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