Question

已知如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2

3

），B（2，0），直線AB與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于C和D（-1，a）
（1）求直線AB和雙曲線的解析式；
（2）求∠ACO的度數(shù)；
（3）將△OBC繞O逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（α為銳角）得到OB′C′，當(dāng)α=

 

度時OC′⊥AB．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線AB解析式，將D坐標(biāo)代入直線AB解析式求出a的值，確定出D坐標(biāo)，將D坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；
（2）聯(lián)立直線AB與反比例解析式，求出交點(diǎn)C坐標(biāo)，過C作CM垂直于x軸，在直角三角形COM值，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠COM的度數(shù)，在直角三角形AOB中，同理求出∠ABO的度數(shù)，由外角性質(zhì)即可求出∠ACO的度數(shù)；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，求出OC′⊥AB時的旋轉(zhuǎn)角即可確定出α度數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（0，2

3

），B（2，0）代入解析式y(tǒng)=kx+b中，得

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=2 3

．
∴直線AB的解析式為y=-

3

x+2

3

，
將D（-1，a）代入y=-

3

x+2

3

得：a=3

3

，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，3

3

），
將D（-1，3

3

）代入y=

m

x

中得：m=-3

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

3 3

x

；

（2）聯(lián)立得：

y=- 3 x+2 3 y=- 3 3 x

，
解得：

x=3 y=- 3

或

x=-1 y=3 3

，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，-

3

），
過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，則在Rt△OMC中，CM=

3

，OM=3，
∴tan∠COM=

CM

OM

=

3

3

，∴∠COM=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO=

AO

OB

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ABO=60°，
∴∠ACO=∠ABO-∠COM=30°；

（3）如圖，若OC′⊥AB，則有∠BNO=90°，
∵∠NBO=60°，∴∠BON=30°，
∵∠COM=30°，
∴∠COC′=∠COM+∠BON=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°，
則當(dāng)α=60°時，OC′⊥AB．
故答案為：60．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，銳角三角函數(shù)定義，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．