【題目】如圖,拋物線y= x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A(1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2) 請你在拋物線的對稱軸上找點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形,所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為 ;
(3)點(diǎn)E是線段BC上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)P1(,4),P2(,),P3(,﹣);(3)S四邊形CDBF的面積最大=,E(2,1)
【解析】
(1)直接把A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程組,然后解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式;
(2)先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=﹣,則D(,0),則利用勾股定理計(jì)算出CD=,然后分類討論:如圖1,當(dāng)CP=CD時,利用等腰三角形的性質(zhì)易得P1(,4);當(dāng)DP=DC時,易得P2(,),P3(,﹣);
(3)先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B(4,0),再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣x+2,利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,設(shè)E(x,﹣x+2)(0≤x≤4),則F(x,﹣x2+x+2),則FE=﹣x2+2x,由于△BEF和△CEF共底邊,高的和為4,則S△BCF=S△BEF+S△CEF=4EF=﹣x2+4x,加上S△BCD=,所以S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+(0≤x≤4),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形CDBF的面積最大,并得到此時E點(diǎn)坐標(biāo).
(1)∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過A(﹣1,0),C(0,2).
∴解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+2;
(2)拋物線的對稱軸為直線,則D(,0),
∴,
如圖1,
當(dāng)CP=CD時,則P1(,4);
當(dāng)DP=DC時,則P2(,),P3(,﹣),
綜上所述,滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(,4),P2(,),P3(,﹣);
(3)當(dāng)y=0時,0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1,x2=4,∴B(4,0).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,由圖象,得
,解得:,
∴直線BC的解析式為:y=﹣x+2.
如圖2,過點(diǎn)C作CM⊥EF于M,
設(shè)E(a,﹣a+2),F(a,﹣a2+a+2),
∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).
∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN,
=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a),
=﹣a2+4a+(0≤x≤4).=﹣(a﹣2)2+
∴a=2時,S四邊形CDBF的面積最大=,
∴E(2,1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G.若FG=AC,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)E(0,﹣2),連接BE.將△OBE繞平面內(nèi)的某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O′B′E′,O、B、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′、B′、E′.若點(diǎn)B′、E′兩點(diǎn)恰好落在拋物線上,求點(diǎn)B′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,對角線,點(diǎn)E是線段BC上的動點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)D作DP⊥DE,在射線DP上取點(diǎn)F,使得,連接CF,則周長的最小值為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn),是上兩點(diǎn),且,連接,,過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn),垂足為.
(1)求證:是的切線;
(2)若,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子,分別裝有3個除顏色外完全相同的小球.其中,A袋裝有2個白球,1個紅球;B袋裝有2個紅球,1個白球.
(1)將A袋搖勻,然后從A袋中隨機(jī)取出一個小球,則摸出小球是白色的概率為 ;
(2)小華和小林商定了一個游戲規(guī)則:從搖勻后的A,B兩袋中隨機(jī)摸出一個小球,摸出的這兩個小球,若顏色相同,則小林獲勝;若顏色不同,則小華獲勝.請用列表或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,用長33米的竹籬笆圍成一個矩形院墻,其中一面靠墻,墻長15米,墻的對面有一個2米寬的門,設(shè)垂直于墻的一邊長為米,院墻的面積為平方米.
(1)直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若院墻的面積為143平方米,求的值;
(3)若在墻的對面再開一個寬為米的門,且面積的最大值為165平方米,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.
(1)如圖(1),連接AF、CE.
①四邊形AFCE是什么特殊四邊形?說明理由;
②求AF的長;
(2)如圖(2),動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動過程中,已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動時間為t秒,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】內(nèi)接于邊于點(diǎn),連接.
如圖1,求證:;
如圖2,延長交于點(diǎn),點(diǎn)在線段上,射線交邊于點(diǎn),連接,若,求證:;
如圖3,在的條件下,連接,若,,求線段的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),拋物線與直線y=-x+3交于C、D兩點(diǎn).連接BD、AD.
(1)求m的值.
(2)拋物線上有一點(diǎn)P,滿足S△ABP=4S△ABD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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