Question

【題目】如圖1（注：與圖2完全相同），二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D，求△ACD的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；

（3）若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ所在的直線翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上E點(diǎn)處，請(qǐng)直接判定此時(shí)四邊形APEQ的形狀，并求出E點(diǎn)坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）四邊形APEQ為菱形，E（，）．

【解析】（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，∵=，∴點(diǎn)D（1，）、點(diǎn)C（0，﹣4），則S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；

（3）四邊形APEQ為菱形，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．理由如下：

如圖2，E點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)Q作，QF⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ，∴AP=AQ=QE=EP，∴四邊形AQEP為菱形，∵FQ∥OC，∴，∴，∴AF=t，F(xiàn)Q=t，∴Q（3﹣t，﹣t），∵EQ=AP=t，∴E（3﹣t﹣t，﹣t），∵E在二次函數(shù)上，∴，∴t=，或t=0（與A重合，舍去），∴E（，）．