Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），D（2，8）；（2）F（﹣1，）或（﹣3，）；（3）Q（2，）或（2，）．

【解析】（1）將點(diǎn)B（6，0）、C（0，6）代入中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為．

∵=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）．

（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），如圖1所示．

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，∴△F′BO∽△BDE，∴．

∵點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)D（2，8），∴點(diǎn)E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=OB=3，∴點(diǎn)F′（0，3）或（0，﹣3）．

設(shè)直線BF的解析式為y=kx±3，則有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，∴直線BF的解析式為或．聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得：①或②，解方程組①得：或（舍去），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）；

解方程組②得：或（舍去），span>∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，）．

綜上可知：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，）．

（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．

∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．

∵點(diǎn)M在拋物線的圖象上，∴，即，解得：=，=，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（2，）．