Question

如圖，⊙O的直徑為5，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知
BC：CA=4：3，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，CD與⊙O相切．（直接說出結(jié)論，不用說理）
（2）連接AP，求證：△PCA∽△DCB；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧中點(diǎn)時(shí)，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的判定方法，當(dāng)PC為⊙O的直徑時(shí)即可符合題意；
（2）利用圓周角定理得出∠ACB=90°，進(jìn)而得出∠ABC=∠APC，再利用相似三角形的判定得出即可；
（3）首先求出AC，PA，PB長，進(jìn)而利用勾股定理得出MC和PM的長，進(jìn)而得出DC的長．

解答：解：（1）當(dāng)PC經(jīng)過圓心O時(shí)，CD與⊙O相切．

（2）如圖1，由題意，AB是⊙O的直徑；∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，∴∠PCD=90°
∴∠ACP+∠BCP=∠PCB+∠DCB=90°，
∴∠ACP=∠DCB，
又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，
∴∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠D，
∴△PCA∽△DCB；

（3）如圖2，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB弧的中點(diǎn)時(shí)，連接AP，過A作AM⊥CP，垂足為M，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
又∵P是弧AB的中點(diǎn)，
∴

AP

=

PB

，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
又AB=5，
∴PA=PB=

5 2

2

，
在Rt△ABC中，
∵BC：CA=4：3，AB=5，
∴AC=3，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠CAM=45，∴AM=CM=

3 2

2

，
在Rt△AMP中，AP²+AM²=PM²，
∴PM=2

2

，
∴PC=PM+

3 2

2

=

7 2

2

．
由（2）△PCA∽△DCB知：AC•CD=PC•BC，
3×CD=PC×4，
∴CD=

14 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟練利用勾股定理得出PM的長是解題關(guān)鍵．