Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線與軸交于、兩點，頂點在軸的正半軸上，且．

（1）如圖①，求拋物線的解析式；

（2）如圖②，連接，過點作的平行線，交第四象限的拋物線于點，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，點在第四象限的拋物線上，過點作于點，直線交軸于點，過點作軸的垂線，垂足為，點在的延長線上，連接、，且，若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點D的坐標為（4，）；（3）點K的坐標為：（3，1）或（3，2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)點C坐標為（0，4a），由，求出A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）先求出直線BC的解析式，由AD∥BC，得到k相等，再把點A代入，得到直線AD的方程，然后與二次函數(shù)組成方程組，即可得到點D的坐標；

（3）根據(jù)題意，過點F作FL⊥x軸于L，根據(jù)平面直角坐標系中的解直角三角形，結(jié)合條件，得到邊之間的關(guān)系，設(shè)點E為（m，），則HE=，OH=m，利用邊之間的關(guān)系建立關(guān)于m的一元二次方程，即可求出m的值，即得到點K的橫坐標，由，需進行分類討論，即可得到答案.

解：（1）如圖①，

在中，設(shè)頂點C坐標為（0，4a），則OC=4a，

∵，

∴OA=OB=2OC=8a，

∴點A坐標為（-8a，0），點B坐標為（8a，0），

把點B代入拋物線，得：，

解得：或或，

∵，則，

∴，

∴拋物線的解析式為：；

（2）如圖②，連接，過點作的平行線，交第四象限的拋物線于點，

由（1）知，拋物線為，

∴點C坐標為（0，1），點B為（2，0），點A為（，0），

設(shè)直線BC的解析式為，

∴，解得：，

∴直線BC的解析式為：；

∵AD∥BC，

∴設(shè)直線AD的解析式為，

把點A代入，得：，

∴，

∴直線AD的解析式為：；

∴，解得：或，

∴點D的坐標為：（4，）；

（3）如圖，過點F作FL⊥x軸于L，

由（2）可知，直線AD為，

∴點I的坐標為：（0，），

∴OI=1，OA=2，

∴.

∵FL⊥x軸，EH⊥x軸，EF⊥AD，

∴∠OAI+∠AGF=∠GEH+∠AGF=∠GFH+∠AGF=90°，

∴∠OAI =∠GEH=∠GFH，

∴，

即，

∴，，

∵，

∴，

即，

∴；

∴，

設(shè)點E坐標為（m，），

∴，

∴，

∵，

∴ ，

整理得：，

解得：或（舍去）；

∴點E的坐標為：（3，）；

∴點H為（3，0），點K的橫坐標為3，

∴BH=1=OC，

①當(dāng)CK平行x軸時，∠HBK=∠BKC=45°，

此時△BHK是等腰直角三角形，

∴HK=BK=1，

∴點K的坐標為（3，1）；

②當(dāng)△BKC時等腰直角三角形時，∠BKC=45°，則BC=BK，

∴△OBC≌△HKC（HL），

∴HK=OB=2，

∴點K的坐標為（3，2）；

綜合上述，點K的坐標為：（3，1）或（3，2）.