【題目】已知關于x的方程x2﹣(2k+3)x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1 , x2
(1)求k的取值范圍;
(2)若兩不相等的實數(shù)根滿足x1x2﹣x12﹣x22=﹣9,求實數(shù)k的值.

【答案】
(1)解:由已知可得,△=[﹣(2k+3)]2﹣41k2=12k+9>0

∴k>﹣


(2)解:由已知可得x1+x2=2k+3,x1x2=k2

∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣9,

∴x1x2﹣[(x1+x22﹣2x1x2]=﹣9,

即3x1x2﹣(x1+x22=﹣9,

∴3k2﹣(2k+3)2=﹣9,

整理得k2+12k=0,解得k1=0,k2=﹣12,

又k>﹣ ,

∴k=0.


【解析】(1)根據(jù)判別式的意義得到△=[﹣(2k+3)]2﹣41k2=12k+9>0,然后解不等式即可;(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=2k+3,x1x2=k2 , 再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣9變形為即3x1x2﹣(x1+x22=﹣9,則3k2﹣(2k+3)2=﹣9,然后解關于k的方程,最后利用k的范圍確定滿足條件的k的值.
【考點精析】關于本題考查的求根公式和根與系數(shù)的關系,需要了解根的判別式△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:1、當△>0時,一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時,一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時,一元二次方程沒有實數(shù)根;一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商才能得出正確答案.

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