【題目】正方形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線DB的中點(diǎn),點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)(如圖①),猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上(不與點(diǎn)D、O、B重合)時(shí)(如圖②),探究(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,寫出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)將圖③補(bǔ)充完整,并判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,直接寫出結(jié)論;若不成立,請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論.

【答案】
(1)解:AP=EF,AP⊥EF,理由如下:

連接AC,則AC必過(guò)點(diǎn)O,延長(zhǎng)FO交AB于M;

∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四邊形ABCD是正方形,

∴四邊形OECF是正方形,

∴OM=OF=OE=AM,

∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,

∴△AMO≌△FOE(AAS),

∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,

故AP=EF,且AP⊥EF


(2)解:題(1)的結(jié)論仍然成立,理由如下:

延長(zhǎng)AP交BC于N,延長(zhǎng)FP交AB于M;

∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,

∴四邊形MBEP是正方形,

∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°;

又∵AB﹣BM=AM,BC﹣BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,

∴AM=PF,

∴△AMP≌△FPE(SAS),

∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,

∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,

故AP=EF,且AP⊥EF


(3)解:題(1)(2)的結(jié)論仍然成立;

如右圖,延長(zhǎng)AB交PF于H,證法與(2)完全相同.


【解析】(1)連接AC,則AC必過(guò)O點(diǎn),延長(zhǎng)FO交AB于M,由于O是BD中點(diǎn),易證得△AOM≌△FOE,則AO=EF,且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°,由此可證得AP⊥EF.(2)方法與①類似,延長(zhǎng)FP交AB于M,延長(zhǎng)AP交BC于N,易證得四邊形MBEP是正方形,可證得△APM≌△FEP,則AP=EF,∠APM=∠FEP;而∠APM=∠FPN=∠PEF,且∠PEF與∠PFE互余,故∠PFE+∠FPN=90°,由此可證得AP⊥EF,所以(1)題的結(jié)論仍然成立.(3)解題思路和方法同(2).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

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