Question

如圖，在△ABC中，AD是角平分錢(qián)，點(diǎn)E在AC上，且∠EAD=∠ADE．

（1）求證：△DCE∽△BCA；

（2）若AB=3，AC=4．求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）利用已知條件易證AB∥DE，進(jìn)而證明△DCE∽△BCA；

（2）首先證明AE=DE，設(shè)DE=x，所以CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x，利用（1）中相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出x的值，即DE的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DA，

∵∠EAD=∠ADE，

∴∠BAD=∠ADE，

∴AB∥DE，

∴△DCE∽△BCA；

（2）解：∵∠EAD=∠ADE，

∴AE=DE，

設(shè)DE=x，

∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x，

∵△DCE∽△BCA，

∴DE：AB=CE：AC，

即x：3=（4﹣x）：4，

解得：x=，

∴DE的長(zhǎng)是．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不大．