Question

【題目】在等邊△ABC中，AO是高，D為AO上一點，以CD為一邊，在CD下方作等邊△CDE，連接BE.

（1）求證：AD=BE；
（2）過點C作CH⊥BE，交BE的延長線于H，若BC＝8，求CH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

∴AD=BE

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，AO是BC邊上的高，

∴∠BAC=60°，且AO平分∠BAC，

∴∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠CBE=30°．

又∵CH⊥BE，BC=8，

∴在Rt△BCH中，CH= BC= ×8=4，即CH=4

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，從而得出∠ACD=∠BCE．然后利用SAS判斷出△ACD≌△BCE ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=BE ；
（2）根據(jù)等腰三角形，底邊上的三線合一得出∠CAD=30°．根據(jù)△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，從而得出∠CBE=30°．然后根據(jù)含30角的直角三角形的邊角關(guān)系得出CH的長度。