Question

【題目】已知x＝﹣m和x＝m﹣2時(shí)，多項(xiàng)式ax2+bx+4a+1的值都相等，且m≠1，若當(dāng)1＜x＜2時(shí)，存在x的值，使多項(xiàng)式ax2+bx+4a+1的值為3，則a的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用x=-m和x=m-2時(shí)，ax2+bx+4a+1的值相等求出a、b的關(guān)系．在1＜x＜2范圍內(nèi)ax2+bx+4a+1的值在為3可等價(jià)于函數(shù)y=ax2+2ax+4a-2與x軸交點(diǎn)在1＜x＜2范圍內(nèi)，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)看出x=1與x=2時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)性，進(jìn)而列出不等式求a的范圍．

∵x＝﹣m和x＝m﹣2時(shí)，ax2+bx+4a+1的值相等

∴a（﹣m）2+b（﹣m）+4a+1＝a（m﹣2）2+b（m﹣2）+4a+1

整理得：（4a﹣2b）（m﹣1）＝0

∵m≠1

∴4a﹣2b＝0，即b＝2a

∵當(dāng)1＜x＜2時(shí)，存在x使得ax2+bx+4a+1＝3

∴a≠0

整理得：ax2+2ax+4a﹣2＝0

令y＝ax2+2ax+4a﹣2＝a（x+1）2+3a﹣2

即拋物線y＝a（x+1）2+3a﹣2與x軸的交點(diǎn)在1＜x＜2的范圍內(nèi)

①當(dāng)a＞0，如圖1，在對(duì)稱軸直線x＝﹣1右側(cè)y隨x增大而增大

∴x＝1時(shí)，y＝a+2a+4a﹣2＜0，解得：a＜

x＝2時(shí)，y＝4a+4a+4a﹣2＞0，解得：a＞

∴＜a＜

②當(dāng)a＜0，如圖2，在對(duì)稱軸直線x＝﹣1右側(cè)y隨x增大而減小

∴x＝1時(shí)，y＝a+2a+4a﹣2＞0，解得：a＞

x＝2時(shí)，y＝4a+4a+4a﹣2＜0，解得：a＜

∴不等式組無解

故答案為：＜a＜．