Question

在等腰直角△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D、E在斜邊AB上，且滿足AE=4，BD=3，∠DCE=45°，則直角邊AC的長度為    ．

Answer 1

【答案】分析：將△AEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BFC，連接DF，由條件可以得出△DBF為直角三角形，利用勾股定理就可以求出DF，通過證明三角形全等就可以DE=DF，從而求得AB，通過等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出AC的值．
解答：解：將△AEC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BFC，連接DF，
∴CF=CE，BF=AE，∠FBC=∠CAE．∠2=∠3
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°
∴∠ABC+∠FBC=90°，
∴DF=，
∵BD=3，BF=AE=4，
∴DF=5，
∵∠DCE=45°，
∴∠1+∠2=45°
∴∠1+∠3=45°，即∠DCF=45°，
∴∠ECD=∠DCF，
∴△CED≌△CFD，
∴ED=FD，
∴ED=5，
∴AB=AE+ED+BD=4+5+3=12．
在等腰直角三角形中，由勾股定理，得
2AC²=144，
∴AC=6．
故答案為：6．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)．