【題目】將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開(kāi),得到圖①中的兩張三角形膠片和.將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E重合,把繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.
(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖②位置,點(diǎn)B(E),C,D在同一直線上時(shí),∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在圖③中,連接BO,AD,探索BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系,并證明.
【答案】(1)∠AFD=∠DCA(或相等);(2)∠AFD=∠DCA(或成立);(3)BO⊥AD.
【解析】
(1)要證∠AFD=∠DCA,只需證△ABC≌△DEF即可;
(2)結(jié)論成立,先證△ABC≌△DEF,再證△ABF≌△DEC,得∠BAF=∠EDC,推出∠AFD=∠DCA;
(3)BO⊥AD,由△ABC≌△DEF得BA=BD,點(diǎn)B在AD的垂直平分線上,且∠BAD=∠BDA,繼而證得∠OAD=∠ODA,OA=OD,點(diǎn)O在AD的垂直平分線上,即BO⊥AD.
(1)∠AFD=∠DCA.證明如下:
∵AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,∴△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠DFE,∴∠AFD=∠DCA;
(2)∠AFD=∠DCA(或成立),理由如下:
由(1)得:△ABC≌△DEF,∴AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,∴∠ABC﹣∠CBF=∠DEF﹣∠CBF,∴∠ABF=∠DEC.
在△ABF和△DEC中,∵,∴△ABF≌△DEC(SAS),∠BAF=∠EDC,∴∠BAC﹣∠BAF=∠EDF﹣∠EDC,即∠FAC=∠CDF.
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA,∴∠AFD=∠DCA;
(3)如圖,BO⊥AD.證明如下:
由△ABC≌△DEF,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合,得∠BAC=∠BDF,BA=BD,∴點(diǎn)B在AD的垂直平分線上,且∠BAD=∠BDA.
∵∠OAD=∠BAD﹣∠BAC,∠ODA=∠BDA﹣∠BDF,∴∠OAD=∠ODA,∴OA=OD,點(diǎn)O在AD的垂直平分線上,∴直線BO是AD的垂直平分線,即BO⊥AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,點(diǎn),,,在一條直線上,,過(guò),分別作,,若.
(1)求證:.
(2)若將的邊沿方向移動(dòng)得到圖②,其他條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在學(xué)校開(kāi)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小明和小剛制作了一個(gè)正三樓錐(質(zhì)量均勻,四個(gè)面完全相同),并在各個(gè)面上分別標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4,游戲規(guī)則如下每人投擲三棱錐兩次,并記錄底面的數(shù)字,如果兩次所擲數(shù)字的和為單數(shù),那么算小明贏,如果兩歡所擲數(shù)字的和為偶數(shù),那么算小明贏;
(1)請(qǐng)用列表或者面樹(shù)狀圍的方法表示上述游戲中的所有可能結(jié)果.
(2)請(qǐng)分別隸出小明和小剛能贏的概率,并判新游戲的公平性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)問(wèn)題:計(jì)算(其中m,n都是正整數(shù),且m≥2,n≥1).
探究問(wèn)題:為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題,我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形,把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái),并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究.
探究一:計(jì)算.
第1次分割,把正方形的面積二等分,其中陰影部分的面積為;
第2次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分,陰影部分的面積之和為+;
第3次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分,…;
…
第n次分割,把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分,所有陰影部分的面積之和為+++…+,最后空白部分的面積是.
根據(jù)第n次分割圖可得等式: +++…+=1﹣.
探究二:計(jì)算+++…+.
第1次分割,把正方形的面積三等分,其中陰影部分的面積為;
第2次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分,陰影部分的面積之和為+;
第3次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分,…;
…
第n次分割,把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分,所有陰影部分的面積之和為+++…+,最后空白部分的面積是.
根據(jù)第n次分割圖可得等式: +++…+=1﹣,
兩邊同除以2,得+++…+=﹣.
探究三:計(jì)算+++…+.
(仿照上述方法,只畫(huà)出第n次分割圖,在圖上標(biāo)注陰影部分面積,并寫(xiě)出探究過(guò)程)
解決問(wèn)題:計(jì)算+++…+.
(只需畫(huà)出第n次分割圖,在圖上標(biāo)注陰影部分面積,并完成以下填空)
根據(jù)第n次分割圖可得等式:_________,
所以, +++…+=________.
拓廣應(yīng)用:計(jì)算 +++…+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由一些大小相同,棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成的幾何體的俯視圖如圖所示,數(shù)字表示該位置的正方體個(gè)數(shù).
(1)請(qǐng)畫(huà)出它的主視圖和左視圖;
(2)給這個(gè)幾何體噴上顏色(底面不噴色),需要噴色的面積為
(3)在不改變主視圖和俯視圖的情況下,最多可添加 塊小正方體.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是A(3,1),B(2,3).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△AOB關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)△A′OB′,點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 ;
(2)請(qǐng)寫(xiě)出A′點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′'的坐標(biāo)為 ;
(3)求△A′OB′的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一組條件是( )
A.BC=EC,∠B=∠E
B.BC=EC,AC=DC
C.AC=DC,∠B=∠E
D.∠B=∠E,∠BCE=∠ACD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小張同學(xué)嘗試運(yùn)用課堂上學(xué)到的方法,自主研究函數(shù)y=的圖象與性質(zhì).下面是小張同學(xué)在研究過(guò)程中遇到的幾個(gè)問(wèn)題,現(xiàn)由你來(lái)完成:
(1)函數(shù)y=自變量的取值范圍是 ;
(2)下表列出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值:
x | … | ﹣2 | ﹣ | m | ﹣ | ﹣ | 1 | 2 | … | |||
y | … | 1 | 4 | 4 | 1 | … |
表中m的值是 ;
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出以表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),試由描出的點(diǎn)畫(huà)出該函數(shù)的圖象;
(4)結(jié)合函數(shù)y=的圖象,寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì): .(只需寫(xiě)一個(gè))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(已知:如圖,AB為⊙O的直徑,AC、BC為弦,點(diǎn)P為上一點(diǎn),AB=10,AC:BC=3:4.
(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)時(shí)(如圖1),求PC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)(如圖2),求PC的長(zhǎng).
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