Question

如圖所示，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=，AO=2，OB=1．
（1）AC，BD互相垂直嗎？為什么？
（2）四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？
（3）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）AC、BD互相垂直．理由如下：
在△AOB中，
∵AB=，AO=2，OB=1，
∴AB²=（）²=5，AO²+OB²=2²+1²=5，
∴AB²=AO²+OB²，
∴△AOB為直角三角形，即∠AOB=90°．
因此AC、BD互相垂直．

（2）四邊形ABCD是菱形．理由如下：
因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，由（1）可知AC、BD互相垂直，
所以四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形）．

（3）求四邊形ABCD的面積．
平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=，AO=2，OB=1，
∴AC=2AO=4，BD=2，
四邊形ABCD的面積為=．
因此四邊形ABCD的面積是4．
分析：（1）在△AOB中，根據(jù)勾股定理可證△AOB為直角三角形，即可證AC、BD互相垂直．
（2）根據(jù)菱形的判定，即對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形，可證四邊形ABCD是菱形．
（3）根據(jù)菱形的面積公式可求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定，菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分．