【題目】如圖,二次函數(shù)yx2+bx3的圖象與x軸分別相交于A、B兩點,點B的坐標為(30),與y軸的交點為C,動點T在射線AB上運動,在拋物線的對稱軸l上有一定點D,其縱坐標為2,lx軸的交點為E,經過A、T、D三點作⊙M

1)求二次函數(shù)的表達式;

2)在點T的運動過程中,

DMT的度數(shù)是否為定值?若是,請求出該定值:若不是,請說明理由;

MTAD,求點M的坐標;

3)當動點T在射線EB上運動時,過點MMHx軸于點H,設HTa,當OHxOT時,求y的最大值與最小值(用含a的式子表示).

【答案】(1)yx22x32)①在點T的運動過程中,∠DMT的度數(shù)是定值②(0,)(3)見解析

【解析】

1)把點B的坐標代入拋物線解析式求得系數(shù)b的值即可;

2)①如圖1,連接AD.構造RtAED,由銳角三角函數(shù)的定義知,tanDAE.即∠DAE60°,由圓周角定理推知∠DMT2DAE120°;

②如圖2,由已知條件MTADMTMD,推知MDAD,根據(jù)△ADT的外接圓圓心MAD的中垂線上,得到:點M是線段AD的中點時,此時AD為⊙M的直徑時,MDAD.根據(jù)點A、D的坐標求得點M的坐標即可;

3)如圖3,作MHx于點H,則AHHTAT.易得Ha1,0),T2a1,0).由限制性條件OHxOT、動點T在射線EB上運動可以得到:0a1x2a1

需要分類討論:(i)當,即,根據(jù)拋物線的增減性求得y的極值.

ii)當,即a2時,根據(jù)拋物線的增減性求得y的極值.

iii)當a11,即a2時,根據(jù)拋物線的增減性求得y的極值.

解:(1)把點B3,0)代入yx2+bx3,得32+3b30

解得b=﹣2,

則該二次函數(shù)的解析式為:yx22x3;

2)①∠DMT的度數(shù)是定值.理由如下:

如圖1,連接AD

∵拋物線yx22x3=(x124

∴拋物線的對稱軸是直線x1

又∵點D的縱坐標為2,

D12).

yx22x3得到:y=(x3)(x+1),

A(﹣1,0),B3,0).

RtAED中,tanDAE

∴∠DAE60°.

∴∠DMT2DAE120°.

∴在點T的運動過程中,∠DMT的度數(shù)是定值;

②如圖2,∵MTAD.又MTMD,

MDAD

∵△ADT的外接圓圓心MAD的中垂線上,

∴點M是線段AD的中點時,此時AD為⊙M的直徑時,MDAD

A(﹣1,0),D1,2),

∴點M的坐標是(0,).

3)如圖3,作MHx于點H,則AHHTAT

HTa

Ha1,0),T2a1,0).

OHxOT,又動點T在射線EB上運動,

0a1x2a1

0a12a1

a1,

2a11

i)當,即1時,

xa1時,y最大值=(a122a1)﹣3a24a;

x1時,y最小值4

ii)當,即a2時,

x2a1時,y最大值=(2a1222a1)﹣34a28a

x1時,y最小值=﹣4

iii)當a11,即a2時,

x2a1時,y最大值=(2a1222a1)﹣34a28a

xa1時,y最小值=(a122a1)﹣3a24a

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