Question

【題目】如圖1，將等腰△ABC沿對(duì)稱軸折疊后，得到△ADC（△ADB），若，則稱等腰△ABC為“長(zhǎng)月三角形”ABC.

（1）結(jié)合題目情境，請(qǐng)你判斷“長(zhǎng)月三角形”一定會(huì)是______三角形.

（2）如圖2，C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC和BC為邊作“長(zhǎng)月三角形”ACD和“長(zhǎng)月三角形”BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)P，CE與BD交于點(diǎn)M.

①求證：；

②求的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）等邊；（2）①見解析；②120°

【解析】

（1）利用等腰三角形性質(zhì)以及含30°的直角三角形進(jìn)行判斷即可.

（2）①利用（1）中結(jié)論，易證，即可解答；

②利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，即可解答.

（1）等邊；

證明：∵將等腰△ABC沿對(duì)稱軸折疊

∴AD⊥CD ∴△ADC為直角三角形

∵

∴∠A=30°，∠C=60°

∴等腰△ABC為等邊三角形.

∴“長(zhǎng)月三角形”一定會(huì)是等邊三角形.

（2）①由（1）可知，△ACD和△BCE是等邊三角形

∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD

在和中，

∴

∴AE=BD

②∵

∴∠CAE=∠CDB

∵∠DCA=∠CDB+∠DBC=60°

∴∠DOA=∠CAE+∠DBC=60°

∵∠DOA+∠AOB=180°

∴∠AOB=120°