【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于點(diǎn)O,E為AC上一點(diǎn),且AE=OC.
(1)求證:AP=AO;
(2)求證:PE⊥AO;
(3)當(dāng)AE=AC,AB=10時(shí),求線段BO的長(zhǎng)度.
【答案】(1)證明見解析;
(2)證明見解析;
(3)BO=.
【解析】
試題(1)根據(jù)等角的余角相等證明即可;
(2)過點(diǎn)O作OD⊥AB于D,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CO=DO,利用“SAS”證明△APE和△OAD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,從而得證;
(3)設(shè)C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中,利用勾股定理列式求解即可.
試題解析:(1)∵∠C=90°,∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,
又∵∠CBO=∠ABP,
∴∠BOC=∠ABP,
∵∠BOC=∠AOP,
∴∠AOP=∠ABP,
∴AP=AO;
(2)如圖,過點(diǎn)O作OD⊥AB于D,
∵∠CBO=∠ABP,
∴CO=DO,
∵AE=OC,
∴AE=OD,
∵∠AOD+∠OAD=90°,∠PAE+∠OAD=90°,
∴∠AOD=∠PAE,
在△AOD和△PAE中,
∵AE=OD,∠AOD=∠PAE,AP=AO,
∴△AOD≌△PAE(SAS),
∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO;
(3)設(shè)AE=OC=3k,
∵AE=AC,∴AC=8k,
∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,
∴OA=OE+AE=5k.
由(1)可知,AP=AO=5k.
如圖,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,
∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k.
在Rt△AOD中,AD===4k.
∴BD=AB﹣AD=10﹣4k.
∵OD∥AP,
∴,即
,
∵AB=10,PE=AD,
∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k,
由∠CBO=∠ABP,根據(jù)軸對(duì)稱BC=BD=10﹣4k,
∵∠BOC=∠EOP,∠C=∠PEO=90°,
∴△BCO∽△PEO,
∴,
即,
解得k=1.
∴BD=10﹣4k=6,OD=3k=3,
在Rt△BDO中,由勾股定理得:
BO=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某農(nóng)場(chǎng)老板準(zhǔn)備建造一個(gè)矩形羊圈,他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻,墻可利用的長(zhǎng)度為,另外三面用長(zhǎng)度為的籬笆圍成(籬笆正好要全部用完,且不考慮接頭的部分)
若要使矩形羊圈的面積為,則垂直于墻的一邊長(zhǎng)為多少米?
農(nóng)場(chǎng)老板又想將羊圈的面積重新建造成面積為,從而可以養(yǎng)更多的羊,請(qǐng)聰明的你告訴他:他的這個(gè)想法能實(shí)現(xiàn)嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,,.
(1)點(diǎn)到軸的距離為:______;
(2)的三邊長(zhǎng)為:______,______,______;
(3)當(dāng)點(diǎn)在軸上,且的面積為6時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為:______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知DE∥BC,AO,DF交于點(diǎn)C.∠EAB=∠BCF.
(1)求證:AB∥DF;
(2)求證:OB2=OEOF;
(3)連接OD,若∠OBC=∠ODC,求證:四邊形ABCD為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90,∠C=30°,AB=6cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BA、AC向點(diǎn)C以3cm/s的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以cm/s的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),到點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)結(jié)束.設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中△BPQ的面積為y(cm2),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,t= (s);
(2)請(qǐng)你用含t的式子表示y.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).
活動(dòng)情境:
如圖2,將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G),使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處,FN與DC交于點(diǎn)M處,連接BF與EG交于點(diǎn)P.
所得結(jié)論:
當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí):(如圖1)甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論(或結(jié)果):
甲:△AEF的邊AE=____cm,EF=____cm;
乙:△FDM的周長(zhǎng)為16 cm;
丙:EG=BF.
你的任務(wù):
【1】填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù);
【2】寫出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過程;
【3】當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處(如圖2)時(shí):
① 試問乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎?若不成立,請(qǐng)說明理由,若你認(rèn)為成立,先證明EG=BF,再求出S(S為四邊形AEGD的面積)與x(AF=x)的函數(shù)關(guān)系式,并問當(dāng)x為何值時(shí),S最大?最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)的圖像為直線.
(1)若直線與正比例函數(shù)的圖像平行,且過點(diǎn)(0,2),求直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若直線過點(diǎn)(3,0),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于3,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】位于南岸區(qū)黃桷埡的文峰塔,有著“平安寶塔”之稱.某校數(shù)學(xué)社團(tuán)對(duì)其高度 AB進(jìn)行了測(cè)量.如圖,他們從塔底A的點(diǎn)B出發(fā),沿水平方向行走了13米,到達(dá)點(diǎn)C,然后沿斜坡CD繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)D處,已知DC=BC.在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂A的仰角為42°(點(diǎn)A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)).其中測(cè)角儀及其支架DE高度約為0.5米,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么文峰塔的高度AB約為( )(sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
A. 22.5 米 B. 24.0 米 C. 28.0 米 D. 33.3 米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將等腰△ABC沿對(duì)稱軸折疊后,得到△ADC(△ADB),若,則稱等腰△ABC為“長(zhǎng)月三角形”ABC.
(1)結(jié)合題目情境,請(qǐng)你判斷“長(zhǎng)月三角形”一定會(huì)是______三角形.
(2)如圖2,C為線段AB上一點(diǎn),分別以AC和BC為邊作“長(zhǎng)月三角形”ACD和“長(zhǎng)月三角形”BCE,連接AE、BD交于點(diǎn)O,AE與CD交于點(diǎn)P,CE與BD交于點(diǎn)M.
①求證:;
②求的度數(shù).
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