Question

如圖，點A₁、A₂、A₃、A₄、…、A_n在射線OA上，點B₁、B₂、B₃、…、B_n-1在射線OB上，A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，設△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n的面積分別為S₁，S₂，…，S_n-1，若△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面積分別為1、9，則在S₁，S₂，…，S_n-1中小于2014的共有

 

個．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)面積比等于相似比的平方，從而可推出相鄰兩個三角形的相似比為1：3，面積比為1：9，先利用等底三角形的面積之比等于高之比可求出第一個及第二個三角形的面積，再由相似比為1：3可求出面積小于2014的三角形的個數(shù)．

解答：解：∵△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面積分別為1，9，A₁B₁∥A₂B₂，A₂B₁∥A₃B₂，
∴∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂A₃，∠B₁A₂A₁=∠B₂A₃A₂，
∴△A₁B₁A₂∽△A₂B₂A₃，
∴

A1B1

A2B2

=

A1A2

A2A3

=

A2B1

A3B2

=

1 9

=

1

3

，
∵A₁B₁∥A₂∥B₂，
∴△OA₁B₁∽△OA₂B₂，
∴

OB1

OB2

=

A1B1

A2B2

=

1

3

，
∵A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面積分別為1，9，
∴△A₂B₁B₂的面積S₁=3×1=3，△A₂A₃B₂的面積S=3×3=9，△A₃B₂B₃的面積S₂=3×3×3=27，△A₃B₃A₄的面積=3×3×3×3=81，
繼而可推出：S₃=81×3=243，S₄=243×3×3=2197，
即在S₁，S₂，…，S_n-1中小于2014的共3個，
故答案為：3．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解答本題的關鍵是掌握相似比等于面積比的平方，及平行線分線段成比例，難度較大，注意仔細觀察圖形，得出規(guī)律．