Question

如圖，點(diǎn)A₁、A₂、A₃、A₄、…、A_n在射線(xiàn)OA上，點(diǎn)B₁、B₂、B₃、…、B_n-1在射線(xiàn)OB上，A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，設(shè)△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n的面積分別為S₁，S₂，…，S_n-1，若△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面積分別為1、9，則在S₁，S₂，…，S_n-1中小于2014的共有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：根據(jù)面積比等于相似比的平方，從而可推出相鄰兩個(gè)三角形的相似比為1：3，面積比為1：9，先利用等底三角形的面積之比等于高之比可求出第一個(gè)及第二個(gè)三角形的面積，再由相似比為1：3可求出面積小于2014的三角形的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面積分別為1，9，A₁B₁∥A₂B₂，A₂B₁∥A₃B₂，
∴∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂A₃，∠B₁A₂A₁=∠B₂A₃A₂，
∴△A₁B₁A₂∽△A₂B₂A₃，
∴

A1B1

A2B2

=

A1A2

A2A3

=

A2B1

A3B2

=

1 9

=

1

3

，
∵A₁B₁∥A₂∥B₂，
∴△OA₁B₁∽△OA₂B₂，
∴

OB1

OB2

=

A1B1

A2B2

=

1

3

，
∵A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面積分別為1，9，
∴△A₂B₁B₂的面積S₁=3×1=3，△A₂A₃B₂的面積S=3×3=9，△A₃B₂B₃的面積S₂=3×3×3=27，△A₃B₃A₄的面積=3×3×3×3=81，
繼而可推出：S₃=81×3=243，S₄=243×3×3=2197，
即在S₁，S₂，…，S_n-1中小于2014的共3個(gè)，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似比等于面積比的平方，及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，難度較大，注意仔細(xì)觀察圖形，得出規(guī)律．