Question

凸四邊形ABCD的面積是S，四邊形內(nèi)一點(diǎn)M關(guān)于四邊中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是P、Q、R、S，則四邊形PQRS的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專(zhuān)題：

分析：首先利用相似三角形的性質(zhì)得出

S△AWR

S△ADB

=(

1

2

) 2=

1

4

，進(jìn)而得出S_{四邊形RWVX}=

1

2

S_{四邊形ABCD}，再利用邊之間關(guān)系得出

S△RMX

S△PMQ

=(

1

2

) 2=

1

4

，以及

S△MRW

S△MPS

=

S △MWV

S△MSR

=

S△MVX

S△MRQ

=

1

4

，可得S_{四邊形RWVX}=

1

4

S_{四邊形PSRQ}，即可得出2S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形PSRQ}，即可得出答案．

解答：解：設(shè)該凸四邊形為四邊形ABCD，不妨設(shè)M關(guān)于AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)分別是P、Q、R、S，
設(shè)AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)分別為：R，X，V，W，連接RX，WR，XV，WV，BD，
∵W是AD中點(diǎn)，R是AB中點(diǎn)，
∴WR∥BD，WR=

1

2

BD，
∴△AWR∽△ADB，
∴

S△AWR

S△ADB

=(

1

2

) 2=

1

4

，
同理可得：

S△CVX

S△CDB

=

1

4

，
∴S_△AWR+S_△CVX=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
同理可得：S_{四邊形RWVX}=

1

2

S_{四邊形ABCD}，
∵R，W，V，X還是PM，SM，MR，MQ的中點(diǎn)，
∴RX∥PQ，RX=

1

2

PQ；RW∥PS，RW=

1

2

PS；VW∥RS，VW=

1

2

SR；VX∥RQ，VX=

1

2

QR，
∴

S△RMX

S△PMQ

=(

1

2

) 2=

1

4

，
同理可得出：

S△MRW

S△MPS

=

S △MWV

S△MSR

=

S△MVX

S△MRQ

=

1

4

，
故S_{四邊形RWVX}=

1

4

S_{四邊形PSRQ}，
進(jìn)而得出：

1

4

S_{四邊形PSRQ}=

1

2

S_{四邊形ABCD}，
∴2S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形PSRQ}，
∵凸四邊形ABCD的面積是S，
∴S_{四邊形PSRQ}=2S．
故答案為：2S．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及面積的等積變換，利用相似三角形的性質(zhì)得出S_{四邊形RWVX}=

1

2

S_{四邊形ABCD}和S_{四邊形RWVX}=

1

4

S_{四邊形PSRQ}是解題關(guān)鍵．