Question

如圖所示，在△ABF中，已知BC=CE=EF，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求

AF

AC

的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：延長AC到M，使MC=AC；延長AE到N，使NE=AE；連接ME、NF，延長AD交ME于點P，利用“邊角邊”證明△ABC和△MEC全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠EMC=∠BAC=45°，再根據(jù)∠CAD=45°推出∠APM=90°，然后得到AE=AM，同理可以證明△ACE和△NFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=NF，∠N=∠CAE=90°，然后利用勾股定理列式求出AF、AC的關(guān)系，整理即可得解．

解答：解：延長AC到M，使MC=AC；延長AE到N，使NE=AE，連接ME、NF，延長AD交ME于點P，
在△ABC和△MEC中，

AC=MC ∠ACB=∠MCE BC=EC

，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴∠BAC=∠EMC=45°，
又∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，
∴∠APM=90°，
∴AE=AM=2AC，
同理△ACE≌△NFE，
∴AC=NF，AE=NE=2AC，∠N=∠CAD+∠DAE=90°，
在Rt△ANF中，AF=

NF2+AN2

=

AC2+(4AC)2

=

17

AC，
所以

AF

AC

=

17

．

點評：本題考查了全等三角的判定與性質(zhì)，三角形的中線，勾股定理，“見中線，加倍延”是此類題目常用的輔助線的作法，所以我們直接將AC、AE加倍延長，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．