Question

【題目】定義：四條邊都相等且四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形。我校“快樂(lè)走班”數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖①，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q．

（1）求證：DP=DQ；

（2）如圖②，小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并予以證明；

（3）如圖③，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，仍作∠PDQ的平分線(xiàn)DE交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接PE，若AB：AP=3：4，請(qǐng)幫小明算出△DEP的面積．

Answer 1

【答案】 （1）證明見(jiàn)解析;（2）猜測(cè)：PE=QE．證明見(jiàn)解析; （3）S△DEP =．

【解析】試題分析：本題是一道幾何證明題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，試題難度不大，但要注意第（3）題中認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò).

求證DP＝DQ;只需證明△ADP≌△CDQ即可得到DP＝DQ.解題的關(guān)鍵是找出∠PDC的兩個(gè)余角相等即∠ADP ＝∠CDQ，兩三角形全等的條件就具備了.

PE＝QE．只需證明△PDE≌△QDE即可得到，由（1）的結(jié)論DP＝DQ加上DE是∠PDQ的平分線(xiàn)易用SAS證得結(jié)論.

（3）由AB:AP＝3:4，AB＝6可求AP＝8,BP＝2；直接由（1）和（2）的結(jié)論AP＝CQ、PE＝QE設(shè)CE＝x，則PE=8-x，利用勾股定理求得Rt△PEB的邊PE，由此可得EQ的長(zhǎng)度，這樣△DEP的面積就不難求得了.

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°

∵∠PDQ＝90°

∴∠ADP+∠PDC＝90°

∠CDQ+∠PDC＝90°

∠ADP＝∠CDQ

在△ADP與△CDQ中

∴△ADP≌△CDQ(ASA)

∴DP＝DQ

（2）解：PE＝QE．證明如下：

∵ DE是∠PDQ的平分線(xiàn)

∴∠PDE＝∠QDE

在△PDE與△QDE中

∴△PDE≌△QDE(SAS)

∴PE＝QE

（3）解：∵AB:AP＝3:4，AB＝6

∴AP＝8,BP＝2,

由（1）知：△ADP≌△CDQ 則AP＝CQ＝8

由（2）知：△PDE≌△QDE，PE＝QE

設(shè)CE＝x，則PE＝QE＝CQ-CE＝8-x

在Rt△PEB中，BP＝2,BE＝6＋x，PE＝8-x

由勾股定理得：22＋（6＋x）2＝（8-x）2

解得：x＝

∴

∴△DEP的面積為：．