Question

如圖，△ABC與以AB為直徑的⊙O相交于點D，且點D為AC中點，點F是⊙O的切線BC延長線上的一點，連結(jié)FD并延長與⊙O相交于點E，DG⊥BC于點G．
（1）求證：DG為⊙O的切線；
（2）當(dāng)∠F=15°，AE=3時，求⊙O半徑．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，由BC是⊙O的切線就可以得出AB⊥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，就可以得出DG∥AB，D為AC中點，就有DG=GC，DG=

1

2

AB，OD是△ABC的中位線，就可以得出OD∥BC，就可以得出∠BOD=90°，就可以得出∠GDO=90°，得出結(jié)論；
（2）連結(jié)OE，由OD∥BC就可以得出∠AOD=90°，∠ADO=∠ACB，由OA=OD就可以得出∠ADO=45°，得出∠ACB=45°，由外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以得出∠CDF=30°，進(jìn)而得出∠ADE=30°，就有∠AOE=60°，AO=EO得出△AEO為等邊三角形，就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）連結(jié)OD，
∵點D為AC中點，O為AB的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠B，∠ADO=∠ACB．
∵BC是⊙O的切線，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠AOD=90°，
∴∠BOD=90°．
∵DG⊥BC，
∴∠DGB=90°．
∵∠DOB+∠B+∠DGB+∠GDO=360°，
∴∠GDO=90°，
∴GD⊥OD．
∴DG為⊙O的切線；
（2）∵∠AOD=90°，AO=DO，
∴∠ADO=45°，
∴∠ACB=45°．
∵∠ACB=∠F+∠CDF，且∠F=15°，
∴45°=15°+∠CDF，
∴∠CDF=30°，
∴∠ADE=30°．
∵∠AOE=2∠ADE，
∴∠AOE=60°．
∵AO=EO，
∴△AOE是等邊三角形．
∴AO=AE．
∵AE=3，
∴AO=3，
∴⊙O半徑為3．

點評：本題考查了切線的判定及性質(zhì)的運用，三角形的中位線的判定及性質(zhì)的運用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用，圓心角與圓周角的關(guān)系的運用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時運用切線的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．