Question

如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)，若⊙O的半徑為9，則GE+FH的最大值為．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=

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AB=4.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值18-4.5=13.5．

解答：解：當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值．
當(dāng)GH為直徑時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，
∴AC也是直徑，AC=18．
∵∠ABC是直徑上的圓周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=

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AC=9．
∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF=

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AB=4.5，
∴GE+FH=GH-EF=18-4.5=13.5．
故答案是：13.5．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．