【題目】定義:我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡(滿足條件的所有點(diǎn)所組成的圖形)叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(1)已知拋物線的焦點(diǎn)F(0, ),準(zhǔn)線l: ,求拋物線的解析式;
(2)已知拋物線的解析式為:y=x2﹣n2 , 點(diǎn)A(0, )(n≠0),B(1,2﹣n2),P為拋物線上一點(diǎn),求PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若(2)中拋物線的頂點(diǎn)為C,拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是D、E,過C、D、E三點(diǎn)作⊙M,⊙M上是否存在定點(diǎn)N?若存在,求出N點(diǎn)坐標(biāo)并指出這樣的定點(diǎn)N有幾個(gè);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:設(shè)拋物線上有一點(diǎn)(x,y),
由定義知:x2+(y﹣ )2=|y+ |2,
解得y=ax2;
(2)
解:如圖1,由(1)得拋物線y=x2的焦點(diǎn)為(0, ),準(zhǔn)線為y=﹣ ,
∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2個(gè)單位所得,
∴其焦點(diǎn)為A(0, ﹣n2),準(zhǔn)線為y=﹣ ﹣n2,
由定義知P為拋物線上的點(diǎn),則PA=PH,
∴PA+PH最短為P、B、A共線,此時(shí)P在P′處,
∵x=1,
∴y=1﹣n2<2﹣n2,
∴點(diǎn)B在拋物線內(nèi),
∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣(﹣ ﹣n2)= ,
∴PA+PB的最小值為 ,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1﹣n2);
(3)
解:由(2)知E(|n|,0),C(0,n2),
設(shè)OQ=m(m>0),則CQ=QE=n2﹣m,
在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2,
解得m= ﹣ ,
則QC= + =QN,
∴ON=QN﹣m=1,
即點(diǎn)N(0,1),
故AM過定點(diǎn)N(0,1).
【解析】(1)直接根據(jù)新定義即可求出拋物線的解析式;(2)首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程,根據(jù)PA+PH最短時(shí),P、B、A共線,據(jù)此求出PA+PB的最小值及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);(3)設(shè)OQ=m(m>0),則CQ=QE=n2﹣m,在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2 , 進(jìn)而求出ON是定值,據(jù)此作出判斷.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,CD是∠ACB的角平分線,CE是AB邊上的高,
(1)若∠A=40°,∠B=60°,求∠DCE的度數(shù).
(2)若∠A=m,∠B=n,求∠DCE.(用m、n表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖1,AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,點(diǎn)C在直線BD上且與F重合,AC=EF,BC=DE .
(1)請說明△ABC≌△FDE,并判斷AC是否垂直FE?
(2)若將△ABC 沿BD方向平移至如圖2的位置時(shí),且其余條件不變,則AC是否垂直FE?請說明為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△DEB中,已知AB=DE,還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一組條件是
A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠D D.∠B=∠E,∠A=∠D
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,且DF=DC。
(1)求證:BD=AD;
(2)若AF=1,DC=3,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC,P是母線AC的中點(diǎn),則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長為( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】⑴ 閱讀理解:我們知道在直角三角形中,有無數(shù)組勾股數(shù),例如:5、12、13;9、40、41;……但其中也有一些特殊的勾股數(shù),例如:3、4、5;是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)組成的勾股數(shù).
解決問題:① 在無數(shù)組勾股數(shù)中,是否存在三個(gè)連續(xù)偶數(shù)能組成勾股數(shù)?
答: ,若存在,試寫出一組勾股數(shù): .
② 在無數(shù)組勾股數(shù)中,是否還存在其它的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)能組成勾股數(shù)?若存在,求出勾股數(shù),若不存在,說明理由.
③ 在無數(shù)組勾股數(shù)中,是否存在三個(gè)連續(xù)奇數(shù)能組成勾股數(shù)?若存在,求出勾股數(shù),若不存在,說明理由.
⑵ 探索升華:是否存在銳角△ABC三邊也為連續(xù)正整數(shù);且同時(shí)還滿足:∠B>∠C>∠A;∠ABC=2∠BAC?若存在,求出△ABC三邊的長;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),以AD為腰作等腰△ADE,AD=AE,∠BAC=∠DAE,連接CE.
(1)求證:BD=CE;
(2)已知BC=8,∠BAC=∠DAE=30°,若△DCE的面積為1,求線段BD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(如圖1,等邊△ABC中,D是AB邊上的點(diǎn),以CD為一邊,向上作等邊△EDC,連接AE.
(1)求證:△DBC≌△EAC;
(2)求證:AE∥BC;
(3)如圖2, 若D在邊BA的延長線上,且AB=6,AD=2,試求△ABC與△EAC面積的比值.
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