Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC=1：3，將一直角△MON的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．繞點O順時針旋轉△MON，其中旋轉的角度為α（0＜α＜360°）．
（1）將圖1中的直角△MON旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時α為

 

度；
（2）將圖1中的直角△MON旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；
（3）在上述直角△MON從圖1旋轉到圖3的位置的過程中，若直角△MON繞點O按每秒25°的速度順時針旋轉，當直角△MON的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時直角△MON繞點O的運動時間t的值．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)∠MON的度數(shù)，可得ON旋轉的度數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)∠AOC：∠BOC=1：3，可得∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得∠AON與∠CON的關系，再根據(jù)∠AON與∠AOM的關系，可得答案；
（3）分類討論，ON在∠AOC的平分線上，ON的反向延長線平分∠AOC，可得相應的旋轉角，根據(jù)旋轉的速度，可得旋轉的時間．

解答：解：（1）將圖1中的直角△MON旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時α為 270度，
故答案為：270；
（2）解：∠AOM-∠NOC=45°，理由如下：
∵∠AOC：∠BOC=1：3，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=45°，∠BOC=135°，
∴∠AON+∠NOC=45°，∠AON=45°-∠NOC
∵∠MON=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°．
∴45°-∠NOC+∠AOM=90°，
即∠AOM-∠NOC=45°．
（3）解：①當ON平分∠AOC時，由（2）可知：∠AOC=45°，
∴∠AON+∠NOC=45°．
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠NOC=22.5°，
∵∠MON=90°，
∴旋轉角度為：90°+22.5°=112.5°，
∴t=

112.5

25

=4.5s．
②當ON的反向延長線平分∠AOC時，旋轉112.5°的基礎上，再旋轉180°，
∴旋轉角度為：112.5°+180°=292.5°．
∴t=

292.5

25

=11.7s．
綜上所述：t=4.5s或t=11.7s．

點評：本題考查了幾何變換綜合題，利用了旋轉角，角的和差關系，分類討論是解題關鍵．